соответствующую нелинейной емкости, можно записать в виде отношения

i.=/i(M)/if04). (П6.10>

где Jiijoii) и Viijcoi) -фурье-преобразования для ii{t) и Vi{t) соответственно на частотах сог. Применяя преобразование Фурье к каждому из токов в выражении (П6.9) и деля их на фурье-преобразование соответствующего напряжения, находим

Уг = /iCp-b/coA ехр [/ (фд-ф)],

Fa = /ЧСр--/Ч«2 -ПР ехр [/ (фз-ф2- ф1.)],. (П6,. 11 >

Уз = /сОзСр-Ь/сОдС, -1 ехр[-/(фз-ф2-фО].

Первые члены в правой части выражений (П6.11) -комплексные проводимости емкости Ср, а вторые члены представляют вклад от квадратичной составляющей в соотношении между зарядом и напряжением.

Соотношения между током и напряжением для трех резонансных контуров параметрического усилителя вытекают непосредственно из выражений (П6.11)

4 04) = <5г+/Чо2 ехр [/ {фз-Фг -Фа)]} (/COl),

0 = {Са+/(Оааа -!ехр[./(фз-ф2-ф1)]} F/a). (П6.12)

рр (/Ч) = (<з+ехр [-/ (фз-Фа-ф1)]} Vs (/cDg),

где /s(/cDi) и Ippijins) -фурье-преобразования токов сигнального генератора и генератора накачки соответственно на частотах 0)1 и (Пз, а

Gr = Gi+Gs+G,. (П6.13)

Исключая 12ехр/ф2 и Узехр/фз из выражений (П6.12), получаем, что комплексная проводимость сигнального контура Ys содержит отрицательную активную проводимость, в соответствии со свойствами параметрического диода

Ys = Gt-G, (П6.14)

С -, (П6.15>

С2"3

В этом выражении \1рр\ -амплитуда токового генератора накачки. Член в знаменателе, содержащий Vi, приводит к увеличению искажений в параметрическом усилителе, хотя для малых сигналов, удовлетворяющих условию

МаМзДа Т/ 2 1

(П6.16)

этот эффект пренебрежимо мал. Это неравенство показывает также, что для усиления без искажений нелинейность должна быть малой, а проводимости холостого контура и контура накачки должны быть большими.

Проведенный выше анализ можно распространить на случай, когда частота сигнала о не обязательно равна резонансной частоте cDi сигнального контура. Тогда соотношения между током и напряжением в выражениях (П6.12) следует записать в более общем виде, заменяя oi на со, сог на (соз-со) и включая реактивные проводимости резонансных контуров, описываемыми формулами

/со. - со

COg - Ш )•

(П6.17)

.где Qi и Q2 - добротности сигнального и холостого контуров. Реактивная проводимость контура накачки равна нулю независимо от частоты сигнала, так как предполагается, что частота накачки зафиксирована на резонансной частоте соз.

Комплексная проводимость сигнального контура описывается теперь формулой

(П6.18)

где отрицательная проводимость

<й((0з -<й)йа/рр

0= -П-1/ 2 42-Г"

(П6.19)

о а/сйз(сйз -ш) •

(П6.20)

Приложение 7. Минимальный шум усилителя

Как было показано в разд. 11.3, из анализа, основанного на принципе неопределенности, следует, что любой линейный усилитель должен иметь шум. Рассуждения, приведенные ниже и распространенные на случай больших значений отношения сигнал- шум, приводят к выражению для минимальной величины спектральной плотности мощности шума на выходе усилителя. Оно включает в себя коэффициент усиления усилителя и квант энергии hfo, где /о - частота сигнала.

Рис. П7.1. Усилитель с коэффициентом усиления по мощности G и «идеальный» детектор.

На рис. П7.1 изображена полная усилительная система, состоящая из усилителя с коэффициентом усиления С>>1 и детектора, включенного на его выходе. Последний является «идеальным» в том смысле что он вносит неопределенности в измерения числа фотонов и фазы на предельном уровне, установленном принципом неопределенности

ДПйАф = 1/2. (П7.1>

Для достижения наилучшей чувствительности неопределенности в измерениях числа фотонов и фазы сигнала на входе усилителя должны удовлетворять соотношению

Дп1Дф1 = 1/2. (П7.2)

Пусть Апи и Афи обозначают среднеквадратичные значения флуктуации числа фотонов и фазы на выходе усилителя. Сначала определим условие на произведение АПаАфа, которое согласует детектор с усилителем.

Так как неопределенности, или шум, производимый усилителем и детектором, являются независимыми, неопределенность в измерении выходного сигнала может быть выражена следующим образом:

An = AnJ-i-An/ = Gj (П7.3а>

Дфа = Аф„«+Аф/ = АфЛ

(П7.3б>