Вычисляя произведение этих двух величин, получаем Q ДпДф, (Ап„+Дп/) (Дф„2+Аф2)

= (П7.4>

w = AnjAffa- (П7.5>-

При вычислениях в уравнении (П7.4) использовалось условие (П7.1). Заметим, что, хотя произведение ДпДфй - фиксировано, их отношение (П7.5) таким свойством не обладает. Условия согласования, упомянутые выше, достигаются тогда, когда-W принимает значение, для которого Q - минимально. Из вида-уравнения (П7.4) ясно, что Q как функция w имеет минимум.. При этом Q, как следует из уравнения (П7.2), принимает значение 1/4. Дифференцируя уравнение (П7.4) по и приравнивая производную к нулю, находим, что минимум наступает при значении

Таким образом, детектор и усилитель оказываются согласованными, когда равны относительные неопределенности в этих.. двух приборах. Подставляя этот результат в уравнение (П7.4) с Q = l/4, получаем, что

Дп„Дф„=-. (П7.7>

Это и есть искомое оптимальное условие.

Уравнение (П7.7) является основой для определения минимальной мощности шума на выходе усилителя. Поскольку шум имеет тепловую природу, будем предполагать, что он имеет двухстороннюю спектральную плотность So, которая распространяется равномерно на положительные и отрицательные частоты. Таким образом, полная мощность шума в интервале частот-df представляет собой сумму отрицательных и положительных частотных компонент, равных 2Sodf. Конечная цель последующего анализа состоит в определении минимальной величины мощности шума в предположении, что уровень шума много меньше уровня гармонического выходного сигнала.

Пусть поле на выходе e{t) состоит из строго гармонической компоненты с амплитудой ао и угловой частотой «о и компонен-

ТЫ теплового шума n{t), обусловленного усилителем, таким образом,

e(0 = cocos(0o+n(0. (П7.8)

Как хорошо известно и легко доказывается, выражение, включающее гармонический член плюс шум, может быть переписано в следующем виде:

е(0 = г(0со51с0о+ф(0]. (П7.9)

где ф(0-флуктуация фазы, а r{t)-случайно изменяющаяся огибающая поля. Уравнения (П7.9) следует из записи

п (t) = Пс {t) cos tOo-(f) sin cOo4 (П7.1 Oa)

где две новые шумовые функции в правой части определяются соотношениями

п, (t) = п (t) cos oij, (П7.1 Об)

(t) = -п (t) sin>o. (П7.1 Ов)

Фаза и огибающая e{t) связаны с ndt) и ns{t) через уравнения r(Ocos9(0 = Co+n,(0. (П7.11а)

г(05тф(0 = пЛ0. (П7.116)

«3 которых следует, что

ф (О = arctg

(П7.12а)

Оо + Пс (О

(О = {[йо+". (0} flo+n.(О, (П7.126)

тде приближения справедливы, когда велико отношение сигнал - шум.

Из уравнения (П7.12а) получаем выражение для спектраль-лой плотности фазовых флуктуации

5фИ = . (П7.13)

тде 5„j(co) - спектральная плотность случайной величины ns{t). Теперь непосредственно из уравнения (П7.10в) следует, что

Sns И = 1/4 [Sn («-«o)+S„ (cD+cOo)] = So/2, (П7.14)

где Sn( ) -спектральная плотность шума усилителя, которая, как уже было предположено, не зависит от частоты и имеет ве-личину So- Если сопоставить два результата, указанных выше.

Приложения 38Г

ТО можно получить значение среднего квадрата фазовых флуктуации в частотном интервале df. Оно имеет вид

АФ„=-. (П7.15>

Таким образом, фазовые флуктуации выражены через мощность-шума. Остается получить аналогичное выражение для флуктуации числа фотонов Ыа.

Вычислим флуктуации мощности огибающей r{t) сигнала. Определим их следующим образом:

T1(0 = [/-M0-- (П7.16>

Будем интересоваться автокорреляционной функцией

Ф = МОМ?+. (П7.17>:

Ее можно вычислить, используя выражение для r{t) из уравнения (117.126)

Фп (т) = (О (+т)-п/ {tf+Wric (О (+т)-Ь..., (П7.18).

где члены, обозначенные многоточием, все тождественно равны . нулю. Поскольку предполагается, что уровень сигнала много- выше уровня шума, первые два члена в правой части уравнения: (П7.18) незначительны по сравнению с третьим, и, следовательно.

Ф, (т) 4а,Ч, it) п, it+x) = Аа,\„ (т), (П7.19>,

где фпд (т) - автокорреляционная функция процесса Пс (t). По-теореме Винера - Хинчина находим спектральную плотность

Т](0

SJco) = 4floS„co), (П7.20).

где 5„р(со)=5о/2 - спектральная плотность Пс(1). Таким образом, получаем

SJa)) = 2flo%. (П7.21

Уравнение (П7.21) дает спектральную плотность флуктуации-энергии поля. Энергия шума в поле состоит из двух компонент,, классической части, связанной с взаимодействием между волнами в поле, и «квантовой», вклад в которую обусловлен корпускулярным характером излучения. В пределе низких температур-классический вклад стремится к нулю, а- уровень квантового-шума остается конечным. Он определяет минимальный уровень.