Главная страница  Математические методы 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [ 6 ] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129]

2.4. Стохастические процессы

Статистические свойства стохастического процесса - это те регулярные особенности, которые проявляются (могут проявиться) в результате большого числа испытаний или наблюдений. Это наводит на мысль, что такой процесс можно исследовать математически на основе воображаемого ансамбля статистически похожих процессов, наблюдаемых одновременно за один и

ется импульс. Результат, аналогичный выражению (2.186), получают из интеграла обращения, положив Х(/со) =2яб(со-со), где и - фиксированная угловая частота. Для этого случая находим

ехр (/(07) 2яб (ш-и) (2.19а)

Из этого выражения, считая сначала со положительной вели-чпной, а затем отрицательной, легко получить, что

COSC07 я[б((о-co)-f б(со+со)], (2.196)

sinco7 -/я[б(со-со)-б((о--со)]. (2.19в)

Таким образом, каждое из преобразований косинусоидальных и синусоидальных функций состоит из двух дельта-функций, симметрично расположенных относительно точки отсчета на частотах, численное значение которых равно частоте самих гармонических функций.

Часто требуется найти преобразование производной dx{t)ldt. Его находят, интегрируя по частям определяющий интеграл (2.10). Полагая x(f)->0 при ->±оо, приходим к выражению

-<->/соХ(/со), (2.20а)

которое после применения аналогичных операций можно обобщить на случай п-й производной. Получаем результат

(/со)пХ(/со), (2.206)

который имеет смысл при условии, что все интегрируемые выражения исчезают при t-±oo.

Свойства интеграла Фурье подробно рассмотрел Титчмарш в монографии [21], а Популис [17] показал возможности метода преобразования Фурье для широкого круга физических задач.



где X - среднее значение, а axit)-х - дисперсия процесса x(;t). Все статистические характеристики гауссовского процесса определяются функциями вероятности первого и второго порядков, так что знаний среднего значения и функции ковариа-ции достаточно для того, чтобы полностью установить все статистические свойства процесса.

Существуют два различных способа усреднения, которые могут быть применены к составляющим функциям ансамбля: первый - усреднение по времени, имеющий дело с отдельно взятой функцией ансамбля, и второй - усреднение по ансамблю, где средними являются математические ожидания, вычисляемые в фиксированные моменты времени в интервале наблюдения по вероятностным характеристикам, рассмотренным выше.

ТОТ же Промежуток времени. Составляющие функции ансамбля jc(i)(/), x(2)(i),..., ;W(/), соответствующие этим процессам, связывают с ними различные вероятностные характеристики, некоторым можно предсказывать статистические свойства единичного процесса в ансамбле. Такие предсказания позволяют проводить сравнения с наблюдаемыми количественными соотношениями в реальном мире. Таким образом, можно оценить качество предсказаний и отсюда пригодность теоретических моделей, к ним приводящих, что позволяет лучше понять физические явления, лежащие в основе наблюдаемых флуктуации.

Вероятностные характеристики, о которых говорилось выше, представляют собой иерархию функций плотности вероятности, связанных с составляющими функциями процессов в ансамбле. Вообще говоря, эти характеристики зависят от моментов времени, для которых их вычисляют. Однако есть исключение из общего правила - стационарные процессы. Стационарность в узком смысле означает, что все функции плотности вероятности, связанные с процессом, инвариантны при временном сдвиге точки отсчета. Похожее определение применимо к стационарности в широком смысле, но здесь оно относится только к функциям плотности вероятности первого и второго порядков. Важно заметить в связи с реальными шумовыми флуктуация-ми, что в случае статистически стационарных процессов (в широком или узком смысле) вероятностные характеристики второго порядка зависят только от разности между моментами наблюдения, тогда как характеристики первого порядка совершенно не зависят от времени. Примером такой характеристики первого порядка является нормальная, или гауссовская, функция

ехр \ - {x-xfl2o\



Средние по времени первого и второго порядка i-ro члена ансамбля - это среднее значение

<х«(0> = xHt)dt, (2.21)

-г/2

И автокорреляционная функция

Ф„<> (т) = {x> (t) x> (+t)> = lim4- г x {t) JC> (+t) (2.22)

-Г/2

причем последняя содержит меру «памяти» процесса. Символ <...> в этих выражениях означает среднее по времени, а Г - продолжительность интервала наблюдения. Заметим, что автокорреляционная функция - четная функция временной задержки t и что ее значение при т=0 есть значение среднего квадрата процесса.

Средние по ансамблю, соответствующие средним по времени в выражениях (2.21) и (2.22), - это среднее значение, взятое в момент времени =fi:

=E[x>>(g] = to-2xW(g = J(x„yd;:„ (2.23)

=1 -oo

и смешанный момент второго порядка (или ковариация), взятый в моменты времени t=ti и 1 = 12ф:

x{k)x{t,) = Е [х«> (У (gi = lim -i- 2 (к) х (Q] =

Л-.оо

= J XiXp2 {Xi, к, Чу а) dxidx. (2.24)

Значение среднего квадрата при t = tx равно

{[x>(yf} = lim \;[x«(y] = "xiVi(>i.i)rfi- (2-25)

1=1 -oo

Верхняя черта в этих выражениях показывает усреднение по ансамблю; символ Е{П} означает математическое ожидание; N - число функций в ансамбле; Xi и - сокращенные обозначения для x{ti) и xltz); piixu ti) - функция плотности совместной вероятности первого порядка и Р2(хи h; Х2, t)-функция плотности совместной вероятности второго порядка для процес-




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [ 6 ] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129]

0.0174