5Л«) = РРо5д9(а>), (6.46)

где 5де (со) - спектральная плотность флуктуации температуры AQ{t).

Из уравнения (6.46) можно видеть, что при прохождении постоянного тока через резистор температурные флуктуации приводят к флуктуациям напряжения на клеммах резистора. В ряде работ исследовалась возможность того, что подобный механизм обусловливает 1 -шум в однородных резисторах, в частности в работах Кларка и Восса [17], а также Восса и Кларка [67] в случае тонких сплошных пленок металлов. (Уровень l/f-шума у полупроводников и несплошпых пленок, вообще говоря, слишком велик, чтобы его объяснить на основе гипотезы о температурных флуктуациях.) Теоретическая модель Восса и Кларка была основана на решении уравнения диффузии для неограниченного пространства и последующем усреднении по конечному объему резистора для получения среднего значения температурной флуктуации AQjt). В результате они получили спектральную функцию 5де(со) степенного вида, которая уменьшается при возрастании частоты, но не содержит зависимости l/f для области частот в несколько декад. Восс и Кларк полагают, что металлические пленки на подложках из стекла плохо аппроксимируются неограниченным пространством, имея в виду, что присутствие границ может изменить спектр таким образом, чтобы получить обширную 1/lfl-область. В соответствии с этим они в явной форме ввели эмпирическую l/f[-область в свой спектр между низкочастотной и высокочастотной границами, определяемыми длиной t и Шириной W пленки. Используя условие нормализации

Ae-=(W)dco, (6.47)

тепла со средой. Эти флуктуации температуры в свою очередь приводят к флуктуации сопротивления r{t) около среднего значения Ro. Если [6(0-eo]=Ae(f) - среднее значение температурной флуктуации по объему образца, то флуктуация сопротивления описывается формулой

r(0 = pi?oAe(0. (6.45)

где = (l/Ro) (drfdQ)-температурный коэффициент сопротивления. Из уравнения (6.26) следует, что при прохождении постоянного тока / через резистор спектральная плотность флуктуации напряжения в резисторе, возникающих из-за флуктуации температуры, имеет вид

- ЗЛ/[3 + 21п( ш)]/- (6-50)

Тепловой диффузионный спектр в уравнении (6.50) отличается от гипотетической формулы Хуга [уравнение (6.29)] тем, что в числителе он содержит температурный коэффициент сопротивления, а в знаменателе - член, зависящий от геометрии образца. Последний член, правда, вряд ли составляет существенное расхождение с функцией Хуга, так как размеры образца находятся в нем под знаком логарифма, а это слабо изменяющаяся функция. В противоположность этому наличие коэффициента .р в уравнении (6.50) весьма существенно, и экспериментальные доказательства в пользу теории, основанной на тепловой диффузии (а не формулы Хуга), были получены Боссом и Кларком: они обнаружили не замеченный ранее 1 -щум у манганина, который имеет температурный коэффициент сопротивления, очень близкий к нулю, в соответствии с теоретическим предсказанием, следующим из уравнения (6.50). О другом экспериментальном подтверждении полуэмпирической формулы Восса и Кларка сообщили Кларк и Шнанг [;16], которые провели измерение низкочастотного шума в пленках из олова в условиях сверхпроводящего перехода, когда значение 3~155 К~ крайне велико по сравнению со значением § при комнатной температуре, приблизительно равным 5-10- К". В области частот ниже 100 Гц Кларк и Шианг получили хорошее согласие между результатами их измерений шумового спектра в лленках из олова на подложках из стекла и теоретическими предсказаниями, следующими из уравнения (6.50).

Согласно теории тепловой диффузии, температурные флуктуации в металлических пленках должны обладать некоторой степенью пространственной когерентности, которая характеризуется зависящей от частоты длиной корреляции Я(/)~(£ )/2,

ОНИ получили

Исходя из условий термодинамики, средний квадрат температурных флуктуации составляет

Дё= адС„, (6.49)

где k - постоянная Больцмана; Cv - теплоемкость образца. Для металла при комнатной температуре CSNk, где - полное число атомов образца, и отсюда спектральную плотность флуктуации напряжения в уравнении (6.48) можно записать в виде

где D - коэффициент тепловой диффузии пленки. Измерения такой корреляции на пленках из висмута при комнатной температуре, проведенные Боссом и Кларком, и на пленках из олова при температуре перехода в сверхпроводящее состояние, проведенные Кларком и Шиангом, находятся в хорошем согласии с предсказанием теории, что является еще одним экспериментальным подтверждением теории температурных флуктуации.

Может казаться, что в определенных случаях l/f-шум в металлических пленках следует приписать равновесным температурным флуктуациям, но, несмотря на начальный успех этой модели, последующие исследования привели к выводу о том, что в общем случае тепловая диффузия не ответственна за наблюдаемые в эксперименте спектральные зависимости. Более того, отсутствие l/f-шума у манганина (факт, который воспринимался как существенная экспериментальная поддержка теории температурных флуктуации) было подвергнуто сомнению Хугом [31], который отметил, что Вандамм измерил контактный шум твердых слитков манганина и не обнаружил ничего необычного в наблюдаемом спектре. Хуг пришел к заключению, что «нет ничего специфического в характере l/f-шума манганина с его малым значением температурного коэффициента сопротивления». Помимо неопределенности в поведении манганина, модель тепловой диффузии l/f-шума имеет и другие серьезные изъяны: из нее не следует наличия широко простирающейся области с ясно выраженной l/f-зависимостью спектра от частоты, она предсказывает отсечку на низких частотах и из неё следует сравнительно слабая монотонная зависимость от температуры. По всем этим пунктам получены противоречащие данной теории экспериментальные результаты. Однако, по всей вероятности, наиболее убедительное доказательство того, что l/f-шум у металлических пленок на подложках не обусловливается механизмом температурных флуктуации, предложенным Боссом и Кларком, получено из недавно проведенных измерб ПИЙ пространственной корреляции, выполненных Шофельдом с сотр. [56].

Они взяли две пленки из золота, которые были разделены слоем электрического изолятора, настолько тонким, что тепловые флуктуации у одной пленки сильно коррелировали с тепловыми флуктуациями у другой. Следовательно, если l/f-шум связан с тепловой диффузией, шум в этих пленках должен быть сильно коррелирован. Эксперимент же показал, что по существу нет причинной связи между l/f-шумом в этих двух пленках; измеренный коэффициент корреляции составлял менее чем 1/100 того значения, которое предсказывала теория тепловой диффузии. Неизбежный вывод иа этого эксперимента заключа-