тельной нелинейной проводимостью (или последовательным LRC-контуром с последовательно присоединенной отрицательной проводимостью). При соответствующих условиях такая схема неустойчива и будет переводиться в колебательный режим собственным шумом системы. Амплитуда этих собственных колебаний устанавливается на уровне, который зависит от степени нелинейности элемента с отрицательной проводимостью. Как и в большинстве задач с нелинейными эффектами, общий анализ схем генераторов колебаний проводить трудно, хотя определенные типы нелинейных характеристик удается исследовать, используя в каждом отдельном случае индивидуальный подход.

Конкретный вид нелинейной проводимости, рассмотренный ван-дер-Полем, - это плавно изменяющаяся функция, которую можно аппроксимировать быстро сходящимися степенными рядами по выходному напряжению. Генераторы, основанные на нелинейном элементе этого вида, известны под названием генераторов колебаний ван-дер-Поля. Большинство твердотельных устройств, обычно используемых в качестве нелинейных элементов в генераторах с отрицательной проводимостью, имеет нелинейные характеристики, которые приближаются к виду, рассмотренному ван-дер-Полем. Поэтому сосредоточим наше внимание на этом типе нелинейности и, прежде чем переходить к обсуждению шумов генератора, сначала обсудим наиболее важные рабочие характеристики генератора колебаний ван-дер-Поля.

8.2. Собственные колебания в генераторе ван-дер-Поля

На рис. 8.1 показана эквивалентная схема генератора с отрицательной проводимостью, состоящая из параллельного LC-контура с проводимостью потерь d, шунтированного нелинейной отрицательной проводимостью -G (G - положительно). Когда G>Gl, схема неустойчива и внутренний шум сис-

v(i)

Рис. 8.1. Эквивалентная схема генератора с отрицательной проводимостью.

темы запускает собственные колебания. Тогда на выходе появляется колебательное напряжение v{t).

Конкретный вид нелинейности определяет характеристики генератора колебаний. В предположении, что G может мгновенно реагировать на быстрые изменения v{t), нелинейную проводимость можно представить в виде разложения по степеням v(t) следующим образом:

G = Go[l+ay(0-fPu2(0-f •], (8.1).

где а, р, ... - константы, а Go - значение (положительное) величины G при v{t)=0. Когда ряд в формуле (8.1) сходится так быстро, что члены выше квадратичного пренебрежимо малы, имеем выражение

G = Go[l-fau(0+Pt(0], (8.2)

которое описывает тип нелинейности, исследованной ван-дер-Полем 16]. Как он показал, наиболее важные свойства генератора определяются не линейным, а квадратичным членом в выражении (8.2). Другой тип нелинейности, послуживший основой для генератора Робинсона [11], имеет резкий изгиб в характеристике при определенном значении w(О , после которого происходит насыщение. Несмотря на то что характеристики нелинейностей Робинсона и ван-дер-Поля весьма различны, характеристики соответствующих генераторов похожи, хотя генератор ван-дер-Поля имеет тенденцию создавать больше шума, потому что l/f-шум в нелинейной проводимости существенно модулирует Go, что в свою очередь вызывает амплитудные и фазовые флуктуации на выходе. Фолкнер и Мид [4] получили подтверждение этому, изучая генератор на эффекте Ганна (который хорошо аппроксимирует генератор ван-дер-Поля), обнаружив корреляцию между l/f-шумом сигнала смещения и ЧМ-шумом выходного сигнала.

Выходное напряжение схемы рис. 8.1 описывается дифференциальным уравнением

C+{GL-G)v(t)±v (t) dt = О, (8.3)

которое после подстановки выражения (8.2) и дифференцирования по времени принимает вид

С [G,- Go-2«G„. (О-ЗрОо (01 --Ь -- = 0. (8.4)

Это - нелинейное, однородное (т. е. без члена с источником в правой части) дифференциальное уравнение и его решение описывает собственные колебания на выходе. Ван-дер-Поль [16, 17] показал теоретически, что частота этих колебаний есть ре-

зонансная частота LC-контура и что амплитуда на выходе быстро достигает предельного значения, определяемого коэффициентом квадратичного члена в выражении (8.2). Это ограничение роста амплитуды можно понять из следующего физического рассмотрения.

Когда v(t) мало, нелинейная проводимость близка к линейной отрицательной проводимости -Go и при Go>Gi, суммарная проводимость схемы отрицательна. Схема в этом случае неустойчива, в ней возникают свободные колебания и амплитуда этих колебаний растет во времени экспоненциально (вместо того чтобы убывать экспоненциально, как было бы в случае схемы с положительной проводимостью). Когда амплитуда v(t) становится достаточно большой для того, чтобы член рц(/) в выражении (8.2) стал сравнимым с -1 (считаем р отрицательным), происходит смена знака величины G, и нелинейный элемент начинает работать как положительная проводимость. В этой точке амплитуда колебаний перестает нарастать, и устанавливается стационарный устойчивый режим амплитуды.

Нет необходимости решать уравнение (8.4), чтобы определить стационарную амплитуду колебаний и оценить важную роль квадратичного члена в выражении (8.2). Вместо этого воспользуемся условием, согласно которому в устойчивом состояний энергия, поглощаемая проводимостью, потерь Gl, равна энергии, выделяемой отрицательным сопротивлением -G [12, 13]; в результате получаем соотношение

То То

J G,t»2 (t) dt= Gw (0 dt, (8.5)

где To - период колебаний. Полагая

w(z!) = WoCOsco„ (8.6)

где ио=2л;/7о - угловая частота, из выражений (8.2) и (8.5) имеем

Gzol = j* (cos co„/+aUo cos« t+v cos* cOoO dt. (8.7)

функция созюо/ в нечетной степени при интегрировании за период дает нуль, так что в уравнении (8.7) остаются только интегралы вида

щ (2/г)!