ЧИСЛО убедительных данных, что IZ/-myM также имеет нормальное распределение.

Математический анализ стохастических процессов имеет дело-с вероятностными характеристиками во временном и частотном интервалах. (Спектральный состав шумов в электронных компонентах важен для конструктора, так как часто цель его - минимизировать шумы в интересующей его конкретной области.) Помимо среднего значения (первый порядок), основными; статистическими характеристиками, используемыми для описания шумового процесса, служат спектральная плотность, дающая среднюю спектральную составляющую флуктуирующего сигнала, и автокорреляционная функция, которая дает возможность определить меру времени корреляции, или «память» процесса. Обе эти характеристики - второго порядка и в случае-статистически стационарного) процесса однозначно связаны через теорему Винера - Хинчина. Для нестационарных процессов можно получить обобщенный вид этой теоремы, а расширенный вариант теоремы Винера - Хинчина выражает однозначное соотношение, связывающее взаимную корреляционную-функцию и взаимную спектральную плотность двух статистически стационарных процессов.

Развитие этих теорем опирается на испытанный фундамент аналитического метода Фурье. В обосновании наиболее важных приемов анализа Фурье важную роль играет .дельта-функция Дирака, принадлежащая классу обобщенных функций. Она также весьма полезна для математического описания некоторых шумовых сигналов. В качестве вступления к рассмотрению метода Фурье и его применения к шумовым процессам установим, некоторые свойства дельта-функции.

2.2. Сингулярные функции

Дельта-функция Дирака, обозначаемая символом б(0> оп--ределяется соотношением

J8{t)x{t)dt = x(0), (2.1)

где x{t)-обычная функция времени, непрерывная при =0).

" Так как в данной книге имеем дело со статистиками второго порядка, нет необходимости различать стационарность в широком и узком смысле. Это также относится ко многим случаям, рассматриваемым ниже.

Здесь за переменную выбрано время. Конечно, свойства дельта-функ-Ции не зависят от переменной: дельта-функции от частоты, пространственной переменной и т. д. ведут себя так же, как и эта, с соответствующей переменной, подставленной вместо t

b{t)dt=\. (2.2)

Этот результат в сочетании с определяющим соотношением по-жазывает, что дельта-функцию можно представить как импульс

Рис. 2.1. Схематическое изображение дельта-функции Днрака.

единичной площади с центром в точке =0, имеющий бесконечно большую высоту и бесконечно малую ширину. Это схематически иллюстрируется на рис. 2.1. Такое представление, конечно, является математической абстракцией. Оно также служит основным элементом импульсного процесса, состоящего из случайной последовательности дельта-функций, а такой сигнал - чрезвычайно близкое приближение для многих реальных шумовых процессов.

Из выражения (2.2) непосредственно выводится полезное со-ютношение:

(«-) = -rS(-Ь), (2.3)

тде а - константа. Из соотношения (2.3) следует

б(0 = б(-0. (2.4)

Следующую формулу получают из выражения (2.1) для случая, когда дельта-функцию перемещают из нуля в момент t=to:

Согласно этому определению, b{t)-функционал, имеющий свойство присваивать значение х(0) функции x{t). В противном •случае, если бы б (О была обычной функцией, интеграл в вы--ражении (2.1) не имел бы смысла. С дельта-функцией, хотя она и является функционалом, можно обращаться так же, как с обычной математической функцией, при условии, что производимые действия не противоречат данному выше определению.

При подстановке x(t) = \ для всех t из выражения (2.1) следует, что

Тогда имеем

с» то

J б (/-д X (О - J б (О X (f+g =X (g, (2.5)

•что является основным свойством дельта-функции.

Дельта-функцию можно представить как предельный вид обычной четной функции времени с выбросом при /=0, кото-

N = 8

N=12

г. п« sin (Nt) Рис. 2.2. Функция---

)ый становится выше и тоньше при уменьшении некоторого параметра, скажем Л, но площадь выброса/ipn этом остается постоянной и равной единице. Наконец, в пределе при больших Л/" эта функция при =0 становится бесконечной, а для всех tO принимает нулевое значение. Если gN{t) -такая функция и

lim \gN{t)x{i)dt==x{0),

JV-»oo J

(2.6)

где x{t) непрерывна при f=0, то, сравнивая это выражение с выражением (2.1), имеем

6(0 = limg(0.

(2.7)

Это следует понимать в том смысле, что число х{0), присвоенное функции x{t) дельта-функцией, равно пределу интеграла в формуле (2.6).