Приложение 2. Исследование по Найквисту теплового шума в сопротивлении

Спектральная плотность флуктуации напряжения на сопротивлении, находящемся в тепловом равновесии с окружающей средой, первоначально была получена Найквистом [1] с привлечением методов термодинамики и статистической механики. Его исследование проблемы появилось вскоре после работы Джонсона, наблюдавшего тепловые флуктуации в сопротивлении, и результат, полученный Джонсоном, часто относят к закону Найквиста. Ниже описывается подход Найквиста к проблеме теплового шума.

Рис. П2.1. Равные сопротивления, соединенные параллельно.

Рис. П2.2. Линия передачи без потерь длины /, на концах замкнутая равными сопротивлениями R, и Rz.

Первоначально он рассмотрел два электрических проводника, /?1 и R2, с одинаковым сопротивлением R и при одной и той же температуре 6, равномерной по всему проводнику. Очевидно, что при параллельном соединении проводников, показанном на рис. П2.1, электродвижущая сила, появляющаяся в результате теплового движения носителей заряда в Ri, вызывает в контуре ток, приводя к поглощению мощности проводником R2. Аналогичный поток энергии существует и от i?2 к Ri. Мощность от Ru поглощаемая R2, равна Vi/4/?, а в обратном направлении от R2 к /?1 - равна V24R, где Vi и Уг - значения средних квадратов электродвижущих сил разомкнутого контура, наведенных на Ri и R2 соответственно. Так как оба проводника находятся при одной и той же температуре, потоки мощности в каждом направлении должны быть совершенно одинаковыми, иначе будет нарушен второй закон термодинамики; следовательно, средние квадраты напряжений Vi и Уг равны. Этот вывод имеет силу независимо от физической природы проводников; как указывал Найквист, один проводник может быть из свинца, а другой- из серебра, или один может быть металлическим, а дру-

гой - электролитическим, и результат останется прежним. Более того, этот вывод справедлив не только для полной мош,но-сти, которой обмениваются проводники, но и для обменной мощности в любой полосе частот. Если бы это было не так, можно, было между проводниками включить полностью реактивный фильтр (т. е. содержащий только конденсаторы и индуктивности) , полоса пропусканий которого охватывает частотный диапазон, где существует неравенство между потоками мощности в. двух направлениях. Но, так как Ri и R2 имеют одну и ту же температуру, это снова привело бы к нарушению второго закона.-термодинамики, и, следовательно, потоки мощности в обоих направлениях в любой полосе частот должны быть одинаковыми.. Другими словами, спектр флуктуации напряжения на сопротивлении - универсальная функция i?, 6 и частоты /.

Чтобы получить эту функцию, Найквист рассмотрел длинную-линию передачи без потерь, замкнутую на концах проводниками Ri и i?2 (рис. П2.2). Обозначим характеристический импеданс линии через R, ее длину - / и волновую скорость вдоль линии - с. Когда система находится в тепловом равновесии, существует поток энергии вдоль линии от RiK RzVL другой поток в обратном направлении, от R2 к Ri. Эти потоки появляются благодаря тепловым флуктуациям носителей заряда в Ri vi R соответственно,, и в обоих случаях принимающий проводник поглощает энергию,.. которая на него приходит.

Мощность, отданная в линию одним из проводников в частотном интервале dtdJ2n, описывается формулой

dP = -S. (П2.1>.

где 5у((й) -спектральная плотность флуктуации напряжения nai рассматриваемом проводнике. Время переноса вдоль линии определяется отношением t/c, и таким образом полная энергия,., отданная в линию обоими проводниками за такой интервал времени, определяется выражением

dB==-SJ)~. (П2.2)»

Далее Найквист продолжил доказательство, считая линию-передачи короткозамкнутой с обоих концов, так что энергия в ней содержится в виде стоячих волн. Частоты этих волн соответствуют собственным частотам линии. Таким образом, самая* низкая частота колебаний, соответствующая волне напряжения с узлом на каждом конце и пучностью посредине, равна с/2/. Частота следующего режима колебаний, в котором узлы находятся на концах и один - в средине линии, равна 2с/2/; вообще собственные частоты линии равны nc/2t, где п - целое число*-

В частотном интервале й(а(2п количество мод колебаний, следовательно, равно (2 с) с?со/2л (оно очень велико по сравнению •с единицей, если предположить, что / может принимать бесконечно большие значения). Если считать, что имеем именно этот Случай, и рассматривать каждую моду как степень свободы системы, можно прибегнуть к закону равномерного распределения, чтобы определить полную энергию в линии. При условии, что квантовомеханические эффекты несущественны, закон равномерного распределения энергии устанавливает, что в среднем энергия, связанная с каждой степенью свободы, равна кв, где k - константа Больцмана, а 6 - абсолютная температура системы. Таким образом, энергия в линии для частотного интервала с?(й/2я имеет вид

--e-S-. (П2.3)

Сравнивая это выражение для dE с предыдущим, получаем спектральную плотность флуктуации напряжения разомкнутой цепи

Sv{(o) = 4kQR, (П2.4)

что и является результатом Найквиста. Его можно обобщить на случай комплексного импеданса, если расширить проведенное

:выше доказательство, включив в рассмотрение простой контур. Тогда для спектральной плотности флуктуации напряжения получают точно такой же вид, причем R представляет в этом

случае действительную часть импеданса. Таким образом, когда импеданс чисто реактивен и не имеет резистивной составляющей, шума нет. Этого следовало ожидать, так как в отсутствие

сопротивления не может быть релаксации от возмущенного состояния назад к состоянию теплового равновесия. Соотношения между сопротивлением, релаксацией и шумом изучаются в

:тл. 2, где рассматривается метод Ланжевена для теплового шума.

При частотах и температурах, при которых имеют значение квантовомеханические эффекты, а именно когда квант энергии

hf не является пренебрежимо малым по сравнению с kQ, закон равномерного распределения в описанном выше виде больше не выполняется. Найквист коротко остановился на этой проблеме в своем оригинальном исследовании теплового шума и предложил каждой степени свободы вместо kQ приписывать в среднем -энергию

hf/{efl/-\), (П2.5)

которая уменьшается до Ы в «классическом» приближении, ког-,да hf<kQ. Символами Ли/, появляющимися выше, обозначены