7.5. Статистика бистабильного взрывного шума

Мы уже упоминали о том, что бистабильный взрывной шум можно представить в виде случайного телеграфного сигнала. Статистические свойства сигналов такого вида в предположении, что вероятность перехода от одного уровня к другому задается законом Пуассона, были рассмотрены Райсом [34]. Исследования самого Раиса основывались на еще более раннем анализе, проведенном Кенриком {20], который представляет также исторический интерес, поскольку является, по-видимому, одним из первых приложений метода корреляционной функции к вопросу определения спектрального распределения мощности случайного сигнала. Вывод, приведенный ниже, в основном следует анализу Раиса.

Рис. 7.12. Вид случайного телеграфного сигнала.

Функция x{t), соответствующая бистабильному сигналу вида, показанного на рис. 7.12, может принимать только два значения, которые обозначим через +а и -а. Если считать, что вероятность перехода с одного уровня на другой за отрезок времени {t, t-\-dt) составляет vdi и что эта вероятность не зависит от переходов вне этого отрезка времени, то вероятность т переходов за отрезок времени (О, Т) дается распределением Пуассона (см. приложение 1)

(7.5)

Можно легко показать, если вычислить первый момент этого распределения, что v - среднее число таких переходов за секунду.

Если т+ и т - средние времена нахождения на верхнем и нижнем уровнях соответственно, то плотность вероятности, времен t+ и t- нахождения на этих двух уровнях описывается формулой

р(±).=-с±-ехр-(;±/т±).

(7.6>

Такой результат следует сразу из распределения Пуассона, как

x{t)x{t-\-x) = d X Вероятность четного числа переходов в интервале {f,t-\-x) либо -X Вероятность нечетного числа переходов в интервале (,/--т)

(7.7)

Две вероятности в этом выражении зависят только от длительности интервала т и не зависят от того, когда интервал начинается. Следовательно, подставляя 7=т в уравнение (7.5), из уравнения (7.7) имеем

x{f)x{t+x) = a\p{Q, \г\)+р{2, т)+...]-

-сПр(1,1т)--р(3, т)--...] =

= a22vT. (7.8)

Ho среднее в левой части этого выражения равно автокорреляционной функции фл:(т) сигнала, т. е.

<p,(t) = ae-2vT, (7.9)

и соответствующее спектральное распределение мощности шумового сигнала описывается выражением

5„(tu) = 4 j" ф(т) cos mdx =

= 4с J ехр - (2vT) cos (сот) dx = j. (7.10)

произведение вероятности того, что нет перехода за интервал t± и вероятности существования одного перехода за интервал t± и t±-\-dt+. Уравнение (7.6) означает, что времена нахождения в этих двух уровнях распределены по экспоненте в соответствии со статистическими измерениями взрывного шума, выполненными Вольфом и Холлером [41] (рис. 7.5).

Для вычисления спектральной плотности взрывного шума находим произведение x{t)x(t-\-x) и затем усредняем его для получения автокорреляционной функции, по которой в свою очередь из теоремы Винера - Хинчина находим искомое спектральное распределение шума. Произведение x{,t)x{t-\-x) равно -\-а, если число переходов в интервале времени \t, f-f-x) - четное, и -а, если число переходов за такой же интервал времени - нечетное. Следовательно, среднее значение произведения x(t)x(t-\-x) составляет

Спектральная плотность взрывного шума в выражении (7.10) имеет такой же вид, что и у релаксационного процесса; она по существу параллельна оси абсцисс на низких частотах ниже частоты fo=vln, соответствующей половине мощности, и убывает по закону в области высоких частот. Спектральное распределение такого вида экспериментально наблюдалось у приборов различного типа рядом ученых, например Вольфом и Холлером, Хсу и Виттиером, а также Мартином и Бласкесом.

Интересно, что, за исключением масштабного множителя, в спектральную плотность взрывного шума входит только один параметр - это средняя скорость перехода с одного уровня на .другой. Ягер и Бродерсон провели измерение средней скорости перехода (которая равняется удвоенной скорости всплесков) v=738 с-, соответствующей частоте половинной мощности v/ji;=235 Гц. Измеренный ими спектр имел вид, задаваемый уравнением (7.10) с частотой, соответствующей половине мощности, равной 255 Гц. Это значение находится в согласии с указанным выше значением в пределах точности эксперимента. Кроме этого, целый ряд других авторов проводили измерения спектральной плотности взрывного шума, и во всех случаях их результаты соответствовали спектру, задаваемому уравнением (7.10).

Однако Хсу и Виттиер, исходя из модели, в которой бистабильный взрывной шум рассматривался как случайная линейная суперпозиция прямоугольных импульсов с длительностью каждого, равной Xd, получили выражение, отличное от выражения (7.10 . Используя теорему Карсона, они получили спектр, который имеет зависимость от частоты в виде

sin((ov2) (coTd/2)2 •

из которого они получили суммарный спектр интенсивности взрывного шума, полагая, что ширина импульса задается функцией распределения, которую они не определяли. У такого подхода имеются две трудности. Во-первых, указанный выше результат приводит к нулям и явно выраженным пикам максимумов, что не находит экспериментального подтверждения в работах самих Хсу и Виттиер а и других, хотя можно полагать, что упомянутая выше не конкретизированная функция распределения будет, возможно, в какой-то мере выравнивать спектр. И, во-вторых, что более существенно, данная модель сама, по-видимому, не является полностью обоснованной, так как бистабильный взрывной шум не сводится к случайной суперпозиции прямоугольных импульсов, и теорема Карсона не справедлива, как метод для статистической обработки такого шумового сигнала.. Это можно видеть из того факта, что при представлении