са, показывающая вероятность того, что некоторый член ансамбля в момент времени имеет значение, заключенное между Хх и x\-\-dxi, и вместе с тем в момент времени h имеет значение, заключенное между Х2 и X2+dx2.

Для стационарных процессов средние по ансамблю (2.23) и (2.25) не зависят от момента времени, для которого их вычисляют, а среднее (2.24) зависит, но не от абсолютных значений ti и и, а только от разности А-ti]. В противоположность этому средние по ансамблю для нестационарных процессов зависят от абсолютного времени, и это подтверждает, что, вообще говоря, понятие усреднения по времени является некорректным в применении к нестационарным процессам.

Ввиду того что наблюдение реального случайного процесса ведется по единственной функции времени, может показаться, что усреднение по времени ближе к физической реальности,, чем усреднение по ансамблю. С другой стороны, усреднение по-ансамблю - удобное теоретическое понятие, так как оно непосредственно связано с функциями плотности вероятности, которые сами часто можно определить теоретически. Для того чтобы иметь возможность сравнить теоретические результаты, основанные на средних по ансамблю, с экспериментальными измерениями средних по времени, необходимо знать, при каких условиях средние по времени и ансамблю эквивалентны. Обычно предполагают, что наблюдаемый процесс является членом! эргодического ансамбля и что, следовательно, применима эрго-дическая теорема. Это допущение справедливо для большинства стохастических процессов, связанных с электронными устройствами, стационарных по крайней мере в широком смысле, и означает, что соответствующие средние по времени и ансамблю можно рассматривать как эквивалентные. Значительно более строгое изложение эргодической теоремы и библиографию-важных работ по этому вопросу можно найти у Миддлтона [15]. Кроме того, Борн [3] представил интересное рассмотрение эргодичности.

2.5. Энергетические теоремы

Мощность шумового процесса является статистической характеристикой процесса второго порядка. Ее удобно рассматривать на основе теоремы Парсеваля, которая устанавливает, что если Xi{t) и X2{t)-две функции времени с соответствующими фурье-преобразованиями A:i(/co) и Х2(/(й), то

00 со

J%(0 V (Od/ = JXi(/-co)X,* (/со) d(o. (2.26)

[x{t)]4t= ПхЛ/со)М(о. (2.29)

которое представляет собой запись .теоремы Парсеваля, или,, как ее иногда называют, энергетической теоремы.

Каждая часть выражения (2.29) равна полной энергии в Xrit). Это наводит на мысль, что Хг(/со) можно интерпретировать как плотность энергии процесса (в единицах энергии на герц), которая конечна при условии, что Т<.оо. Средняя мощность в ступенчатом шумовом процессе есть полная энергия, деленная на Г, которая при Г->с» становится равной

> Хотя этот процесс следует рассматривать как функцию, входящую в-ансамбль, верхний индекс, обозначающий функцию ансамбля, здесь опущен..

Причем предполагается, что фурье-преобразования существуют. Звездочка означает комплексное сопряжение. Теорему доказывают, подставляя вместо 2(0 в подынтегральном выражение слева формулу обращения (2.12), изменяя порядок интегрирования и заменяя получившийся интеграл по времени на Xi(/cu);. после этого получают выражение в правой части равенства-(2.26). Заметим, что теорема Парсеваля - достаточно общая,, не накладывающая ограничений на функции времени Xi (t) w. X2{t), кроме того, что они должны быть абсолютно интегрируемыми.

Предположим теперь, что шумовой процесс наблюдается в-интервале [-Г/2, Г/2], так что вне этого временного «окна» значения его ординаты можно считать равными нулю. Обозна чим этот ступенчатый процесс JCr(0 и пусть

x{f)=Xr{t-{-t), x(t)=xr{t), (2.27).

где т - задержка во времени. Так как функция Xrit) равна; нулю при f->±c», существует ее фурье-преобразование Хг(/со) и, следовательно, из равенства (2.26) имеем

ОО 00

Хт (+т) хт (i)dt = - \ Хт (/ы) Р ехр (/сот) dco, (2.28).

.Г-ОО -00

где звездочка при функции времени опущена, так как Хт{() - действительный процесс. Когда т=0, выражение (2.28) переходит в равенство

S = lim \гт\\ (2.31)

которое стремится к точному значению. Таким образом, спектральная плотность стационарного процесса определяется как свойство ансамбля в целом, а не как свойство индивидуальной составляющей функции ансамбля.

Важное свойство функции, определяемой формулой (2.31),- то, что она является четной функцией частоты. Таким образом, спектральная плотность любого (реального) процесса независимо от его физической природы является четной функцией. Вид функционала в выражении (2.31) часто представляют как одностороннюю спектральную плотность хт{,1) в отличие от двусторонней формы, в которой отсутствует множитель 2 с правой стороны. В последнем случае в качестве компенсации нижний нулевой предел в интегралах по частоте, как, например, в равенстве (2.30), следует заменить на -оо. Добавим, что включение отрицательной области частот в данном контексте не должно приводить к концептуальным затруднениям в отношении смысла отрицательной частоты: так как Sx(cu) - четная функция частоты, то на частотах меньше нуля не вносится никакой новой информации; это лишь средство убедиться, что корректирующий масштабный множитель стоит там, где нужно.

Спектральная плотность стационарного процесса однозначно связана с автокорреляционной функцией этого процесса. Вид соотношения находят из равенства (2.28), деля обе части на Г, -усредняя по ансамблю и записывая в пределе при Т-оо

°° оо

Jim J"хт {t-\-t) % (О = lim j j!"" coscoTdco, (2.32)

-00 о

где для интеграла в правой части возможна запись в односторонней форме, потому что 1Хг(/ю) Р -четная функция частоты. .Левая часть этого выражения-автокорреляционная функци.7

причем постулируется, что пределы существуют. Односторонняя форма интеграла справа возможна здесь потому, что, так как Xrit) действительна, подынтегральная функция - четная функция частоты. Знак Ит и интеграл в правой части равенства

(2.30) можно поменять местами, если предположить, что сначала производится усреднение по ансамблю ,[15]. Спектральная .плотность (односторонняя) стационарного процесса Хт(1) определяется как среднее по ансамблю: