теории l/f-шума, но на практике дело обстоит иначе или по-крайней мере должно быть иначе. Эти вопросы обсуждаются ниже.

6.3.3. Стационарность и теоретическое моделирование

Как уже упоминалось, доступная для экспериментальных, исследований часть спектра со стороны низких частот ограничивается временем Т, за которое проводится измерение. Так.. как Т всегда конечно, в любом случае имеется часть спектральной области, недоступной для экспериментального исследования. Легко видеть, что, если бы спектр выпрямлялся ниже некоторой частоты, значительно меньшей, чем нижняя граница, доступного для экспериментального наблюдения участка спектра, этот процесс был бы неотличим от того, который описывается поднимающейся спектральной кривой; более того, он подчинялся бы условию, вытекающему из уравнения (6.10) и в-соответствии с этим именовался бы стационарным. Следовательно, при изменении спектра в крайне малой степени, причем-таким образом, что это нельзя экспериментально обнаружить,, характер процесса изменяется от нестационарного к стационар--ному. Такое рассуждение показывает, что вопрос о стационарности 1 -шума носит скорее семантический характер и почти; не имеет значения с точки зрения физики явления. Дело в том,., что математика позволяет получить выражения для статистически стационарного случайного сигнала такого вида, свойства которого в диапазоне наблюдений, доступном на практике,, были бы неотличимы от измеряемых при исследовании l/f-шу-мовых процессов. Реальная трудность связана не с математическим описанием явления, а с определением физических механизмов, которые обусловливают генерацию 1 -шума.

Из приведенных выше доводов видно, что предположение О стационарности в широком смысле не противоречит экспериментальным данным по исследованию l/f-шума. Достоинство данного допущения состоит в том, что при построении математических моделей можно в качестве основы использовать уже знакомую нам теорему Винера - Хинчина и другие родственные ей теоремы, которые справедливы для стационарных процессов. Но предположение о стационарности, по сути дела, отвергает всякую возможность признания того, что l/f-щум по своей природе - нестационарный сигнал. Оказывается, однако,, что это не столь большая потеря, так как теоретические по-, строения для представления нестационарного процесса, как правило, содержат физически не реализуемые признаки. Это-можно проиллюстрировать на примере работы Тэндона и Бил-гера [60], в которой предлагается функция MaTeMaTH4ecKorGN

ожидания E[y{t)y{t-\-x)\ [их уравнение (3)] нестационарного процесса y{t). Исследование предлагаемой ими функции показывает, что она не достаточно обоснованна с точки зрения причинности: она зависит от Го, т. е. интервала времени, за который происходит усреднение ансамбля, а это подразумевает «предсказание» будущего. Не существует реальной системы, которая может вести себя таким образом.

По всей вероятности, нет таких причин, которые вынуждали рассматривать l/f-шум в качестве нестационарного процесса, и, в самом деле, такой подход безусловно невыгоден. С другой стороны, если встать на прагматическую точку зрения и считать, что этот шум стационарен в широком смысле, то вносится некоторая ясность во всю проблему. Это становится очевидным из того факта, что стационарность требует отсечки со стороны низких частот, которая обеспечивает сходимость интегралов, а это в свою очередь упрощает построение теоретических моделей шума. Правда, при любом экспериментальном измерении спектра автокорреляционная функция или среднеквадратичное значение l/f-шума будут зависеть от времени измерения Т, но это легко объяснить тем, что Т не является достаточно большим для того, чтобы эти величины сходились к однозначным конечным видам. Такая сходимость имела бы место только в тех случаях, когда Т превышало бы величину, обратную принятой частоте отсечки.

Влияние конечности времени измерения на наблюдаемый спектр шума можно выразить с помощью эмпирической формулы

с1Ы\ для 2я/Т <: со < о).

Sobs К Г) = (6.11)

о в остальных случаях,

которая формально схожа с уравнением (6.3), за исключением того, что вместо частоты соь соответствующей нижней граничной частоте полосы фильтрации, используется 2я;/Г. Отметим, что функциональная зависимость от Т включается в явном виде в левую часть уравнения (6.11). По аналогии с уравнениями (6.5) и (6.8) автокорреляционная функция и средний квадрат •случайного процесса со спектральной плотностью Sobs можно записать соответственно в виде

ф„Ьз(т,Г)=-[а-((о,т)-а (2т/Л1 (6.12)

ФоЬв(0,Г) = 1п(/„Г), (6.13)

йгде /2 = со2/2я:, а Ci( ) - интегральный косинус, определенный

6.4. Форма сигнала с 1 -спектром

Уже было отмечено, что в общем случае физические причины возникновения 1 -щума все еще не ясны. Ключ к понима--нию физического механизма, обусловливающего данное явле--ние, может содержаться в характерных особенностях формы данного сигнала, т. е. предполагается, что анализ математического описания процесса, обладающего характеристиками 1 -шума, может пролить свет на понимание физики, лежащей в основе этого вида флуктуации.

Ниже обсуждаются два процесса, имеющие форму спектра 1 . Первый процесс -это случайный цуг импульсов, модели-которого уделено удивительно мало внимания в литературе. Шёнфельд [57] высказал мысль о том, что 1 -шум можно-представить как случайную последовательность импульсов, которые имеют примерно одинаковую форму, а ван-дер-Зил [64] дополнил эту модель, исходя из простейшей из возможных;

В уравнениях (6.6) и (6.7). Логарифмическая зависимость-от Т среднего квадрата в уравнении (6.13) была экспериментально подтверждена Брофи [13].

6.3.4. Сравнение со случайным блужданием

Спектры l/f-шума и процесса Винера - Лёви (см. разд.. 2.10), который является одним из видов случайного блуждания, сходны в том, что в обоих случаях имеет место закон обратной пропорциональности от частоты, в первом логарифмический" наклон, примерно -1, а во втором -2. Но с точки зрения стационарности их поведение различно. Процесс Винера - Лёви - кумулятивный и у него как у такового форма сигнала отчетли--во выражена. В низкочастотном пределе у такого процесса га- рантируется изменение спектральной плотности с частотой по. закону 1/со и, следовательно, данный процесс является, безусловно, нестационарным. В таком случае не возникает вопроса,, связанного с граничной частотой спектра, так как это противоречит самой природе данного процесса (отсечка, представленная на рис. 2.5,6, не является особенностью самого спектра-Винера - Леви, это - артефакт, связанный с конечной величи--ной селекции). Однако в случае же l/f-шума физические механизмы, обусловливающие форму сигнала, не являются отчет--ливо выраженными и низкочастотная отсечка м.ожет существовать, а может и не существовать; вопрос о стационарности такого шума остается до сих пор все еще открытым, это уже об-•суждалось выше.