а(.) = ,+1п(.)+2-У. (6.7)

где у = 0,5772... - постоянная Эйлера; таким образом, при Z->-0, функция Ci(z) ведет себя как \n{z). Следовательно,, средний квадрат x{t), который можно получить из уравнения

риментальных измерениях (так как l/f-шум, реально наблюдаемый при измерениях, всегда является ограниченным по полосе частот, либо непосредственно за счет фильтрации, обусловленной конечной полосой пропускания аппаратуры, либо косвенно за счет ограниченного времени измерения), и такой шум является статистически стационарным процессом. Напротив, l/f-шум без низкочастотной фильтрации является теоретической абстракцией и он нестационарен.

6.3.1. 1/f шум в ограниченной полосе частот

Рассмотрим l/f-шумовой процесс x(t) с такой полосовой фильтрацией, что для него спектральная плотность мощности имеет вид

с/ i со i для COj <: со < (Og,

5.И = (6.3)

и в остальных случаях,

где С02 и (01 - соответственно верхняя и нижняя угловые частоты этой полосы. Используя теорему Винера.- Хинчина и имея в виду уравнение (6.3), получаем, что автокорреляционная функция x(t) описывается формулой

©2

= с/2я jdco, (6.4)

которую после замены переменной и преобразования пределов интегрирования можно записать в виде

где }

Ci{z)=\dy (6.6)

- интегральный косинус. Разложение интегрального косинуса в ряд (см., например, [44]) дает

{6.5) в пределе -0, описывается выражением

T.{0)=In(co.,/cOi), (6.8)

в согласии с уравнением (6.2).

Из уравнений (6.5) и (6.8) видно, что для определенной полосы частот с coi>0 автокорреляционная функция и значение среднего квадрата процесса, спектральная плотность которого задается уравнением (6.3), сходятся в пределе 1К выражениям одного вида. Это означает, что статистические меры (т. е. плотности вероятности), составляющие основу этих величин второго порядка, зависят только от времени запаздывания т, но не от абсолютных отрезков времени, по которым происходит усреднение ансамблей, что является условием стационарности в широком смысле. Таким образом, l/f-шум в ограниченной полосе частот является по крайней мере стационарным процессом в широком смысле.

Вопрос о стационарности l/f-шума впервые был поднят Брофи [12, 13], который выполнил измерения «дисперсии дисперсии», как это после него начали называть. Он брал выборки l/f-шума за большое число отрезков времени и вычислял дисперсию для каждой такой выборки. Однако эти дисперсии сами флуктуировали, потому что каждая была измерена в интервале времени конечной длительности. Степень этой флуктуации и определялась как дисперсия дисперсии. Брофи нашел, что дисперсия дисперсии была больше для l/f-шума в ограниченной полосе частот, чем для стационарного белого теплового шума, что объясняет его ссылку на l/f-шум как на «шумный шум»; он пришел к выводу, что l/f-шум «обладает некоторой формой условной стационарности».

По крайней мере качественно результаты Брофи согласуются с полученными выше выводами о том, что l/f-шум в ограниченной полосе частот стационарен в широком смысле. Более того, поскольку время корреляции l/f-шума намного больше, чем у белого шума, то относительно большое значение дисперсии дисперсии, обнаруженное у l/f-шума, не должно было быть неожиданным, и этот факт не следовало бы истолковывать как Доказательство того, что l/f-шум в ограниченной полосе частот является нестационарным.

Дальнейшие эксперименты по изучению вопроса о стационарности l/f-шума в ограниченной полосе частот были выполнены Стойсеком и Вольфом [58]; они проводили измерения флуктуации дисперсии шума от физических источников двух типов (угольных резисторов и биполярных транзисторов) и сравнивали результаты с «искусственным» l/f-шумом, который создавался формированием стационарного гауссова шума с

где ц>х{х) - автокорреляционная функция сигнала x(t). Дифференцируя это выражение по со, получим

= -41im Г тф (т) sin coTdT = 0. (6.10) ©-♦o,J о

Следовательно, наклон кривой спектральной плотности стационарного процесса при частоте, равной нулю, есть нуль, или, другими словами, спектральная кривая в низкочастотном пределе становится горизонтальной.

Подобное условие, очевидно, не может быть выполнено для спектральной функции, которая продолжает возрастать по мере приближения к пределу нулевой частоты, т. е. в отсутствие низкочастотной фильтрации l/f-шум является статистически нестационарным процессом. На первый взгляд может показаться, что из этого вытекают серьезные трудности, связанные с трудоемкой математикой (расходящиеся интегралы) в построении

l/f-спектром. Они пришли к заключению, что нет оснований для сомнений в том, что l/f-шум в ограниченной полосе частот является статистически стационарным. Страсилла и Страсс [59] пришли к подобному же заключению.

6.3.2. l/f-шум без низкочастотной фильтрации

В том случае, когда нижняя граница полосы частот ©i равна нулю, спектр, задаваемый уравнением (6.3), расходится, следуя закону l/f, вплоть до нулевой частоты. Несмотря на то что подобный случай нельзя реализовать на практике, представляет интерес провести теоретическое исследование на стационарность сигнала x(t) l/f-шума. Последующее рассмотрение основано на условии, которое должно быть удовлетворено для любого стационарного процесса.

В том случае, когда случайная флуктуация x(t) является статистически стационарной, применима теорема Винера - Хинчина, которая позволяет выразить спектральную плотность в виде

5з((й)) = 4 j" фт cos сотА, (6.9)