Примером функции, удовлетворяющей условию (2.6), является функция

Ы0=. (2.8)

Отсюда, согласно формуле (2.7), имеем ,

щШт., (2.9)

На рис. 2.2 показано приближение функции (2.8) к предельному виду при увеличении N. Выражение (2.9) является важным результатом для установления соотношения между прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Приведенное выше рассмотрение в общих чертах намечает некоторые свойства дельта-функции Дирака. Подробное описание сингулярных функций дал в своей монографии об обобщенных функциях Лайтхилл [13].

2.3. Преобразование Фурье

Преобразование Фурье (двустороннее) функции x{t) имеет

X Ц(о) = j JC (О ехр (-/W) dt, (2.10)

где x(t) может быть либо действительным, либо комплексным. Необходимое и достаточное условие существования Х{](л) состоит в том, что x{t) должна быть абсолютно интегрируема; таким образом,

\x{t)\dt<oo, (2.11)

что эквивалентно требованию ограниченности полной энергии Bx(;t).

Это условие не удовлетворяется, когда x{t)-стационарный стохастический процесс, так как такой процесс не затухает до нуля при ->-±оо. Может показаться, что это служит серьезным препятствием для анализа шума методом Фурье и, следовательно, создает концептуальную трудность в определении спектральной плотности случайного процесса. Действительно, вопрос о том, можно ли анализировать шум, применяя метод Фурье, однажды остро дебатировался в литературе. Эта трудность была в конечном итоге преодолена с помощью следующего доказательства.

Полная энергия в стационарном процессе бесконечна потому, что сигнал действует бесконечно долго. Но мощность (т. е. .энергия в единицу времени) в этом процессе ограниченна, и, конечно, на практике время наблюдения также всегда ограниченно. Если время наблюдения равно Т, то наблюдаемая флуктуация, скажем Xrt), равна x(t) в пределах интервала наблюдения и равна нулю вне этих пределов. Следовательно, ступенчатая функция Xrit) абсолютно интегрируема, и ее фурье-пре-•образование ХтЦт), действительно, существует. Спектральная плотность для XT{t), полученная из ХтЦа), в большинстве практически важных случаев в пределе при Г->оо стремится к единственно возможной предельной форме. Эта предельная функция интерпретируется как спектральная плотность исходного стационарного процесса x{t). Подробности перехода к пределу описаны в разд. 2.5, а сейчас достаточно заметить, что анализ Фурье применим к стохастическим процессам и нет веской причины, запрещающей определение спектральной плотности такого процесса.

Обращение интегрального преобразования (2.10) дает выражение

оо -оо

которое справедливо для всех t, при условии,что x{t) непрерывна. Если x(t) имеет разрыв при t=to, то в этой точке интеграл обращения равен среднему арифметическому от x{to*) и x{to~). В общем случае, следовательно, выражение (2.12) справедливо для всех t, если положить, что

xit)[xin-\-x{t-)]/2. (2.13)

Формулу обращения получают, взяв интеграл в выражении <2.12) в пределах ±Л, подставив величину Л(/со) из формулы (2.10) и изменив порядок интегрирования:

N оо

j X (/со) ехр (/(оО d(o = 2x (Г) (2.14)

-N -оо

В пределе при N-oo это выражение принимает вид

00 оо

J X (/со) ехр (/(оО dco = 2 lim J X (f) У!!!Г =

-OO -oo

= 2я x{t)8{t-t)dt2лх{1), (2.15)

где подставлена дельта-функция из формулы (2.9) и использовано ее основное свойство (2.5). Равенство (2.15) представляет собой искомое выражение для интеграла обращения.

Ядром интеграла обращения служит функция ехр (/со/), используемая для представления гармонических колебаний. Таким образом, естественно интерпретировать функцию ХЦа) как амплитудный спектр для x{t), дающий меру вклада в x{t) гармоник с угловыми частотами между со и со-1-dco. Вообще говоря,. X (/со) - комплексное число, и отношение между его действительной и мнимой частями характеризует фазу гармонической составляющей на угловой частоте со.

Если x{t)-действительная функция, что всегда выполняется в случае реально наблюдаемого процесса (сигнала), преобразование Фурье для этой функции имеет сопряженную симметрию:

Х(/со) = Х*(-/со), (2.16>

где звездочка означает комплексное сопряжение. Тогда отсюда следует, что Х(/со).2 и действительная часть Х(/со)-четные функции от со и что мнимая часть Х(/со)-нечетная функция от со. Если x{t) является четной функцией от t[x{t)=x{-t)] выражение (2.10) принимает вид

Х{]Ъ) = 2х (t) cos (шО dt, (2.17а>

а если x{t)-нечетная функция от t[x{t)=-х{-t)], преобразование можно представить в виде

X (/со) = -2 / j" X (t) sin (соО dt. (2.17б>

Интегралы в выражениях (2.17а) и (2.176) -это косинус- и синус-преобразования Фурье соответственно.

Функции X (О и Х{}{ц) -партнеры в анализе Фурье и вместе образуют пару Фурье-преобразований. Их взаимосвязь удобно обозначить символом д;(Оч->Х(/со), который служит кратким способом записи интегральных преобразований (2.10) и (2.12). Очевидно, что в этой записи с учетом основного свойства дельта-функции получаем

6(0 1 (2.18а>

или в более общем виде

б(-О ехр(~/соО. (2.18б>

где f - фиксированный момент времени, в который наблюда-