константа Планка и частота соответственно. Выражение (П2.5)-описывает энергию гармонического осциллятора, если не считать, того, что в него не включен энергетический член в нулевой точке. В наши дни большинство авторов согласны с тем, что член; в нулевой точке следует включать в описание шума, что более полно обсуждается в гл. 11.

ЛИТЕРАТУРА

1. Н. Nyquist (1928), Thermal agitation of electric charge in conductors, Phys Rev.. 32, 110-113.

Приложение 3. Подвижность, броуновская скорость и диффузия

Подвижность электронов (или дырок) описывает макроскопический поток носителей в электрическом поле. Ее можно выразить через некоторые параметры (например, среднее время пробега между столкновениями с решеткой), характеризующие-микроскопические свойства ансамбля носителей. Доказателъство-основано ка модели классической частицы (электрона), и для простоты выбирается одномерная модель резистора.

Предположим, что к резистору приложено электрическое поле напряженностью Е. Пусть поле мало настолько, что оно не изменяет значительно равновесное распределение электронов по скоростям. Популяции электронов этим полем будет сообщена средняя скорость дрейфа, равная [lE, где ip - подвижность.

Чтобы связать р с параметрами микроскопического движения электронов, рассмотрим столкновения, испытываемые отдельной частицей. Между двумя столкновениями она движется-с ускорением \a\=qE/m в направлении поля, где т - Maccai частицы. Следовательно, если время свободного пробега Xf, смещение под действием поля равно \a\rfl2, и отсюда полное перемещение частицы под действием поля после К столкновений* равно (qEKI2m)xf, где Xf - средний квадрат времени свободного пробега. Средняя скорость дрейфа частицы через К столкновений равна полному перемещению, деленному на полное-время, т. е.

,JEJ, (пз.1>

где Xf - среднее время свободного пробега. Так как о = р£, отсюда следует, что подвижность имеет вид

}г = ?/(2т). (Ш.2)

368 .. Приложения

Далее, времена свободного пробега распределены по Пуассону и Tf2 = 2Tf как показано в приложении 1. Таким образом, подвижность описывается формулой

ц = 9ут. (ПЗ.З)

Если Vq - тепловая скорость частицы между столкновениями, то длина свободного пробега IfvXf. При условии независимости между тепловой скоростью и временем свободного про-бега получаем

lf = VeXf\ (П3.4)

где If - средний квадрат длины свободного пробега, а ve - средний квадрат тепловой скорости. Из закона равномерного распределения энергии для одномерного резистора при тепловом -равновесии с окружающей средой имеем

пю/2 = к6/2, (П3.5)

.где k - константа Больцмана и 6 - абсолютная температура. .Рассматривая совместно выражения (П3.2), (П3.4) и (П3.5), можем выразить подвижность в виде

[1 = дЩ2Шх1). (П3.6)

Эта формула для ц используется при выводе теплового щума в гл. 2 (разд. 2.8).

Шокли [1] дал расщиренное исследование подвижностей, •средних времен и средних длин свободного пробега, включив .анализ, основанный на модели частицы, описанной выше.

Флуктуации скорости ансамбля электронов ответственны за тепловой шум в резисторе. Хотя тепловые флуктуации тока и .напряжения на клеммах прибора рассматриваются в гл. 2

(разд. 2.8), тем не менее полезно специально проанализировать сами флуктуации скорости.

Рассмотрим электрон, который подвергается столкновению

с решеткой. Его импульсы до и после события равны pi и рг соответственно. Таким образом, столкновение за бесконечно малое .время придает частице импульс (рг-Pi)- Это соответствует силе

(Рг-pi)6(f). Следовательно, уравнение движения имеет вид

"=-Я-+{Р.-Рг)т. (П3.7)

1-Где u{t)-скорость частицы. Уравнение (П3.7)-по существу уравнение Ланжевена для скорости броуновской частицы.

Применяя преобразование Фурье к обеим частям уравнения (П3.7) и переставляя слагаемые, находим преобразование u{t)

где Xfmiilq - среднее время свободного пробега, описываемого выражением (ПЗ.З). Используя теорему Карсона, получаем спектральную плотность флуктуации скорости в виде

S;rH = 2v (р,~РгГ\Р(М \ (П3.9)

где v = l/Tf - средняя скорость столкновений для единственной частицы, а

(У«)=-г. (пз.Ю)

- фурье-преобразование функции формы импульса, вызванного единичным столкновением. Так как pi и рг независимы, то

где положили р=Р\=р. Для равновесной популяции из закона равномерного распределения для одномерного случая имеем

р/2т = е/2, (П3.12)

и, следовательно, спектральная плотность тепловых флуктуации скорости принимает вид

57Й=-в, (П3.13)

где использовали выражение для подвижности (ПЗ.З)*). Из теоремы Винера - Хинчина следует, что соответствующая автокорреляционная функция имеет вид

) =¥2ехр (-1т (ПЗ. 14)

где

iF= .Ш= {km Wf) (ПЗ. 15)

- значение среднего квадрата u{t).

" Флуктуация скорости u{t) производит флуктуацию тока короткого замыкания i(t)=qu(t)/L, где L -длина резистора. Отсюда следует, что спектральная плотность флуктуации тока - это правая часть формулы (П3.13), умноженная на (q/L) столько раз, сколько составляет полное число носителей. Это дает выражение Найквиста 4kQ/R, деленное на знаменатель формулы (П3.13), что соответствует выводу 5; (со) в разд. 2.8.