где Rija)-фурье преобразование функции r{t). Если величина переменного тока определяется как /осо5(юс(0, то флуктуацию напряжения можно выразить формулой

() = j ("-"о)] ехр [/ ((о+(Оо)] ехр j} da, (6.28)

которая описывает две шумовые частотные полосы, причем в <аждой из них спектральное распределение плотности флуктуации определяется как 1 о-/-

Если флуктуации сопротивления на самом деле обусловливают избыточный неравновесный шум в резисторах, то у образца, по которому одновременно протекают постоянный и переменный ток с частотой fo, должна иметься 1 -составляющая на частоте, допустим, fi и соответствующие составляющие 1/Af-шума на частотах fo±f\, и эти составляющие должны быть сильно коррелированными. Джон и Фрэнсис [40] провели эксперименты с целью подтверждения существования этой ожидаемой корреляции и нашли, что коэффициенты корреляции находятся в пределах 5% от единицы. Этот факт убедительно свидетельствует о том, что l/f-шум у резисторов связан с флуктуацией сопротивления образцов.

Другой вид эксперимента, который привел к такому же выводу, был поставлен Хокинсом и Блудвортом [28]. Они провели измерение флуктуации напряжения у толстопленочных резисторов, используя четырехзондовый метод, и обнаружили l/f-флуктуации напряжения, когда пара чувствительных к флуктуациям зондов помещалась перпендикулярно направлению тока на противоположных сторонах пленки. Этот поперечный шум (как они его называют) имел уровень, близкий к тому, что и l/f-шум, измеренный в том случае, когда зонды располагались параллельно направлению тока и на одной и той же стороне пленки. Такое поведение можно объяснить модуляцией проводимости.

Имеется еще и другая очень важная часть экспериментальных данных, которая снимает почти любое сомнение относительно того, что l/f-шум в однородных образцах обусловливается флуктуациями сопротивления. Здесь неявно подразумевается, что если такие флуктуации существуют, то они будут присутствовать как в тех случаях, когда образец находится в термическом равновесии с окружающей средой, так и в тех случаях, когда через него течет ток. Следовательно, флуктуации сопротивления можно обнаружить и при равновесии так же, как модуляцию теплового шума. Первыми, кто сообщил о наблюдениях 1/f-подобного спектра, связанного с квадратом напряжения термического шума, были Восс и Кларк [67], похо-

6.6.4. Гипотеза Хуга

Многие годы вообще считали, что l/f-шум есть у однородных полупроводников, но его нет у однородных металлических пленок. (Было хорошо известно, что у негомогенных металлических слоев, состоящих из островков или областей с небольшими контактами между ними, имелся l/f-шум.) Затем в конце 1960-х гг. Хуг и Хоппенбрауэрс [35] сообщили о наблюдениях l/f-шума в сплошных тонких пленках из золота, а также Хуг [30] высказал предположение, что l/f-флуктуации во всех однородных материалах можно представить эмпирической формулой

где Ntot - суммарное число носителей заряда в образце; /?о - средняя величина электрического сопротивления образца; Sr((o) -спектральное распределение плотности флуктуации сопротивления и ан2-10~ - «универсальная» постоянная, обладающая слабой зависимостью от температуры.

Закон Хуга был первым указанием на то, что l/f-шум в однородных материалах ведет себя (статистически) систематическим образом: у многих однородных резисторов при комнатной температуре наблюдался l/f-шум, который удовлетворительно описывался уравнением (6.29). Первоначальное утверждение о том, что закон применим ко всем однородным материалам, затем было модифицировано таким образом, что включало только те случаи, когда рассеяние носителей на кристаллической решетке материала, из которого был сделан образец, доминировало над рассеянием на примесях, а рассеяние на границах было незначительным [36]. Согласно Хугу и Вандамме [37] в тех случаях, когда рассеяние на примесях существенно, постоянную ан2-10-з в уравнении (6.29) следует уменьшить в

жие результаты получили Бек и Спруит [2]. Неизбежный вывод заключается в том, что 1/f-флуктуации тока и напряжения действительно обусловлены флуктуациями сопротивления образца Интересно, что в соответствии с этой точкой зрения постоянный ток, протекающий по образцу, не генерирует l/f-шум, он просто делает очевидными эти l/f-флуктуации, уже существующие в сопротивлении, находящемся в равновесном состоянии.

раз, где \iimp и - подвижности носителей, связанные с рассеянием на примесях и решетке, соответственно.

Несмотря на значительный успех применимости закона Ху-га, накапливались экспериментальные данные о том, что величина ан даже в модифицированной форме не является универсальной характеристикой уровня l/f-шума в однородных резисторах. Например, Датта с сотр. [18] провели измерения l/f-шума в медных вискерах и нашли, что величина ан имеет разброс около одного порядка при измерениях на образцах с одинаковым объемом и была равна значению, которое в 2-10 раза больше, чем постоянная Хуга ан в уравнении (6.29). Более того, Эберхард и Хорн [20] измерили l/f-шум в пленках из серебра и меди и нашли, что уровень шума резко увеличивается с увеличением температуры образцов, что равноценно увеличению ан с повышением температуры. Удовлетворительного объяснения экспериментально наблюдаемым непостоянству, температурной зависимости и высокому значению ан дано не было, хотя все эти три эффекта аномальны в том смысле, что они не согласуются с гипотезой Хуга.

Еще один пример несостоятельности уравнения (6.29) связан с l,/f-myMOM у ионных растворов: в этом случае величина ан не является постоянной, а увеличивается пропорционально концентрации ионов [32]. Однако, если иметь в виду механизм рассеяния носителей на кристаллической решетке, использованный Хугом с сотр., который относится к твердым телам, может быть не справедливо критиковать закон Хуга за неудовлетворительное описание l/f-шума в жидкостях.

6.6.5. Флуктуации числа носителей электричества

l/f-флуктуации сопротивления, наблюдаемые в однородных материалах, могут быть связаны либо с флуктуациями числа носителей электричества, либо с флуктуациями их подвижности. Обратная зависимость от полного числа носителей в формуле Хуга, очевидно, позволяет сделать предположение о том, что флуктуация числа носителей является физическим механизмом, обусловливающим l/f-спектр. Это предположение анализируется ниже.

Число подвижных носителей в образце может испытывать флуктуации за счет обмена либо с внешним источником, либо при конечном числе внутренних энергетических состояний за счет обмена, связанного с захватом носителей ловушками или центрами рекомбинации - генерации. В случае металлов и примесных полупроводников обмен носителей, связанный с внешним источником, исключается, так как должно выполняться условие нейтральности, и, следовательно, в этих материалах