(ю) = 2qI-\- 4пР8{а,). (2.51)

Появляющееся здесь выражение 2ql, описывающее спектральную плотность дробового шума на положительных частотах, служит характеристикой простых дробовых шумовых процессов вообще и встретится еще раз в связи с флуктуациями тока в приборах на р-п-переходе.

В любом физическом приборе с дробовым шумом наблюдается определенная степень расширения импульса. Например, время пролета в термоэлектронном диоде мало, но тем не менее не нулевое, что приводит к импульсам конечной ширины. Тогда, как было показано в разд. 2.6, ни спектральная плотность больше не является равномерной при бесконечно высоких частотах, ни автокорреляционная функция не имеет в нуле дельта-функции, а вместо нее имеется конечное значение среднего квадрата.

Если в последовательности импульсов имеется некоторая степень корреляции между импульсами тока, наблюдается отклонение от простого дробового шума. Это может происходить, например, в вакуумном диоде в результате взаимодействия между электронами во время пролета. Это вызывает сглаживание пространственного заряда и уменьшение шума.

2.8. Тепловой шум

У резистора, который находится в тепловом равновесии со своим окружением, на концах появляются флуктуации либо напряжения (при разомкнутом контуре), либо тока (при корот-козамкнутом контуре). Этот шум впервые наблюдал Джонсон [9] и поэтому его обычно называют шумом Джонсона или тепловым шумом. Это явление аналогично броуновскому движе-

Согласно теореме Кемпбелла о среднем, получаем уровень постоянного тока дробового шума

-I = iJ) = ~qv, (2.49)

где V - средняя скорость эмиссии из катода. Знаки здесь по* ставлены так, чтобы величина /, соответствующая величине среднего тока, была положительна. Так как i{t)-импульсный процесс, нельзя применить теорему Кемпбелла о среднем квадрате; однако можно найти автокорреляционную функцию из выражения (2.47)

=/б(т)+Л (2.50)

и спектральную плотность из выражения (2.46)

38 Гмва 2

нию, статистические свойства которого были описаны Эйнштейном [8] за двадцать лет до исследований Джонсона. Анализ Эйнштейна основан на модели случайного блуждания и показывает, что средний квадрат перемещения броуновской частицы пропорционален времени наблюдения).

Электроны в резисторе обладают тепловой энергией и передвигаются в материале случайным образом, испытывая в процессе движения соударения с атомами кристалла. Случайные движения вызывают тепловой шум. Флуктуации можно истолковать как результат очень большого числа независимых случайных «событий». Каждое событие состоит из начальной стадии, когда происходит отклонение от состояния равновесия, и из релаксации к этому состоянию. Начальная стадия - это пробег электрона между столкновениями, который порождает неравновесное распределение заряда в резистивном материале, а релаксация - это последующее изменение заряда, восстанавливающее состояние равновесия. Явления, происходящие в событии, приводят к возникновению импульса тока или напряжения на клеммах, и суперпозиция всех таких импульсов есть флуктуация теплового шума. В соответствии с этой моделью тепловой шум является еще одним примером последовательности случайных импульсов.

Описание отдельного электронного события, данное выше, неточно отражает микроскопическое поведение электрона в резистивном материале, но при усреднении по большому числу таких событий получают точные статистические характеристики шумовых процессов на выходе. Более того, идея начальной стадии, сменяющейся релаксацией, помогает в понимании роли тепловых флуктуации в диссипативной системе: они поддерживают тепловое равновесие системы, гарантируя в среднем возвращение к этому состоянию при любом отклонении от него.

Статистические характеристики шума Джонсона можно получить из одномерной модели резистора площадью поперечного сечения А и длиной L. Прежде всего для этого нужно знать форму импульса (или ее фурье-преобразование) на клеммах в результате единичного события, состоящего из пробега электрона между столкновениями длины If и последующей релаксации заряда. Теперь начальную стадию можно наглядно представить как мгновенное появление двух заряженных плоскостей с плотностью заряда ±qlA на расстоянии If. Если предположить, что концы резистора разомкнуты, получим, что за-

" Таким образом, перемещение броуновской частицы, аналогичное флуктуациям заряда в резисторе, - нестационарный процесс (см. разд. 2.10). Флуктуации скорости, аналогичной токи в резисторе, статистически стационарны.

ряд тогда должен спадать вследствие обратного потока между заряженными пластинами. Эквивалентная схема для модели события показана на рис. 2.4, где Rf и Cf - соответственно сопротивление и емкость области между заряженными пластинами; R=RfL/lr - объемное сопротивление прибора, а генератор тока q8{t) представляет начальную стадию.

Рис. 2.4. Эквивалентная схема единичного «события» в резисторе с клеммами А-А.

В терминах импульса напряжения Vn{t) на клеммах в результате единичного события уравнение движения по рис. 2.4 имеет вид [4])

(2.52)

где C=Cflf/L. Применяя преобразование Фурье к обеим частям уравнения (2.52), находим, что преобразование импульса напряжения описывается выражением

qlf(R/L)

(2.53)

где Ti=i?C=pe - время диэлектрической релаксации; р - удельное сопротивление и е - относительная проницаемость материала. В электронике, как правило, tj чрезвычайно мало порядка пикосекунд.

Выражение (2.53)-это фурье-преобразование импульса напряжения на клеммах, возникающего в результате единично-

" Это уравнение аналогично уравнению Ланжевена [12] для движения броуновской частицы, которое учитывает как инерциальную, так и диссипа-тивную (вязкую) силы, действующие на частицы. Нововведением Ланжевена было предположение о том, что внешнее воздействие можно разделить на среднюю силу вязкости и очень резко изменяющуюся силу, связанную с частыми молекулярными соударениями, испытываемыми частицей. Глубокое причинное обоснование доказательства Ланжевена дано Чандрасекаром [7]. Уленбек и Орнштейн [22] показывают из решения уравнения Ланжевена, что и скорость, и перемещение броуновской частицы имеют гауссоваие функции распределения.