При анализе этих двух уравнений становится ясно, что нелинейный член в уравнении (8.28) эквивалентен вкладу в (линейный) резистивный член в уравнении (8.34). Это происходит из-за биений, возникающих между собственными колебаниями и шумом и описываемых формулой (8.32). Интересно заметить, что частотный сдвиг спектральных составляющих шума - явление исключительно нелинейное по своей сути: в линейных системах подобный эффект никогда не появляется.

Несмотря на линеаризацию дифференциального уравнения, описывающего выходной шум, еще остаются определенные трудности. Это понятно уже из вида уравнения (8.34), которое содержит два флуктуирующих процесса Vn{t) и Vq{t) и полностью определяет существующие между ними амплитудные и фазовые флуктуации. Формальный подход к задаче заключается в построении двух совместных линейных дифференциальных уравнений из уравнения (8.34) с использованием ортогональности функций sinoo и созюо за один период. Эта достаточно долгая процедура в конечном итоге приводит к искомым решениям для AM- и ЧМ-спектров шума, а также для AM- и ЧМ-когерентности, что подробно изложено в приложении 5. Имеется другой, более короткий, но математически не строгий путь решения. Однако он приводит к верным формам спектра и хорошо иллюстрирует важные физические свойства спектров AM- и ЧМ-шума. Этот способ основан на предположении, что уравнение (8.34) можно решить относительно a{t), полагая (t) равным нулю, и наоборот. Против этого способа, очевидно, можно выдвинуть возражение, а именно: получается, что вся энергия в in{t) идет, скажем, на амплитудные флуктуации, когда приравнивают нулю. Чтобы разрешить это противоречие, предположим, что средняя энергия в i„() равномерно распределена между a{t) и (t) [ситуация, соответствующая введению множителя 1/1/2 в член источника, когда уравнение (8.34) разделяют на AM- и ЧМ-компоненты]. Упрощенный анализ приводит затем к верным спектральным плотностям для AM- и ЧМ-шума, что можно подтвердить сравнением с полученными более строгим путем результатами в приложении 5.

8.7. Спектр амплитудно-модуляционного шума

Для исследования АМ-шума пренебрегаем теперь влиянием флуктуации фазы в уравнении (8.34), полагая {t)=Q. Тогда из выражений (8.26) и (8.33) имеем Vn(t)=Vg{t)=Va{t), где Va(t)=Voa{t)c05 4iQt, и, таким образом, уравнение (8.34) пере-

И--Г . .- . (8.36)

8(Gz.-Go)

со )

где Si - снова спектральная плотность in{t), а Qo - по-прежнему добротность генератора при § = 0.

Сравнение выражения (8.36) с выражением (8.29), полученным в пренебрежении влиянием нелинейного члена в проводимости, показывает, что нелинейность двояко влияет на спектр АМ-шума: она в 8 раз уменьшает высоту пика и в 2 раза расширяет частотную полосу шума. Последнее можно было увидеть из анализа уравнения (8.35), так как резистивный член в нем содержит коэффициент 2, которого не было бы, если бы пренебрегли нелинейностью.

Уровень спектра шума по отношению к амплитуде свободных колебаний можно определить, полагая (о = (0о в уравнении (8.36), и в этом случае находим

Si 2Si

(Ио) = s(gl-Gor WgT -

Из выражения (8.37) следует, что АМ-шум ослабляется, когда генератор возбужден сильнее [эффект, который действительно наблюдается на практике]. Это, однако, не относится к неограниченно большим Vo, потому что в этом случае становятся существенными члены выше второго порядка в разложении нелинейной проводимости.

Выражение (8.36) - спектральная плотность напряжения АМ-шума Va{t)=a{t)Vocos(i)ot. Если Sc((o)-спектральная плотность a{t), то легко показать, что

Sr» = IS„ (a)-a)o)+S„ (со+йо)] S„ (а)-со„). (8.38)

где аппроксимация остается прежней, потому что Sa(to) -низкочастотная функция, и нас интересуют только частоты, близкие к несущей частоте. После подстановки этого результата в

ХОДИТ В уравнение

C--2{G-Go)v,+-l-vJt = J, (8.35)

где коэффициент 1/У2 в правой части представляет долю полной энергии шума, которая «возбуждает» a{t). Уравнение (8.35) -линейное дифференциальное уравнение относительно переменной Va(t), из которого можно найти спектральную плотность шума, используя известный метод преобразования Фурье. Применяя преобразование к обеим частям, находим почти сразу спектральную плотность Va{t)

выражение (8.36) получаем

5„(«-«o) =-г чп. (8.39)

где использовано приближение высокой добротности, а именно (-myi4if?<-{.4i-(i>oYho- Выражение (8.39) определяет спектральную плотность АМ-шума, присутствующую в общем выражении (8.22) для спектра выходного сигнала.

8.8. Спектр фазово-модуляционного шума

Теперь выведем формулу для спектра ФМ-шума из уравнения (8.34), считая амплитудные флуктуации нулевыми. Это оз-нач.ает, что Vn{f)=-Vq{t)=Vii (t), где (f) =il3(f)woSinшо-Таким образом, в этом случае резистивный член в уравнении (8.34) совсем исчезает, и уравнение принимает вид

-Lvut==-. (8.40)

Коэффициент 1/У2 в данном случае представляет часть энергии шума in{t), которая «запускает» ф(). Тот же метод, который был описан выше, приводит к следующему выражению для спектральной плотности о-ф():

2QoMGL-Go)(-j

Таким образом, ФМ-шум имеет очень узкополосный спектр с центром, соответствующим частоте собственных колебаний, и, как и в случае АМ-спектра, его интенсивность ослабляется, когда генератор возбужден сильнее.

Так как w-ф (f) =ф(0о8ш соо, спектральная плотность i{t) связана с. о-ф (со) [выражение (8.41)] следующей формулой:

(со) = 5ф (W-Wo) и отсюда (8.42)

5* (»-с) =-fci- (8-43)

Выражение (8.43) описывает спектральную плотность ФМ-шу ма, присутствующую в выражении (8.22). Заметим, что в непосредственной близости от too интенсивность спектра ФМ-шума много выше, чем АМ-шума, но уровень крыльев обоих спектров одинаков. Эти свойства иллюстрируются на рис. 8.4.