на равной единице, потому что по всему интервалу интегрирования сот<С1. Далее, спектральная плотность генератора белого шума, полученная с помощью выражения для автокорреляционной функции (П5.20), равна Si = 2k, и отсюда по формуле (П5.22) имеем

S„(cd) = 2ji2S:. (П5.23)

Аналогичный вывод, проведенный для спектральной плотности n2{t), дает то же самое выражение, что и для ni{t)

S(io) = 2n%. (П5.24)

Этот вывод показывает также, что взаимная спектральная плотность между ni{t) и n2{t) равна нулю, из чего следует, что a{t} и (О - независимые флуктуации.

Если выражения (П5.23) и (П5.24) подставим в формулы (П5.13) и (П5.15), то найдем спектральные плотности амплитудных и фазовых флуктуации соответственно

=-7-Г ("5-2>

*И = ;;5- (П5.26)

Эти результаты идентичны полученным в гл. 8 при упрощенном доказательстве, где или a{t), или г1з() полагали равными нулю, в то время как вычисляли другую величину. Таким образом, подтвердилось основное предположение, использованное в гл. 8, а именно, что энергия в шумовом генераторе in(t) одинаково распределяется при возбуждении амплитудных и фазовых флуктуации.

Приложение 6. Соотношения между токами i

и напряжениями в параметрическом

усилителе

Эквивалентная схема параметрического усилителя на рис. 9.6 состоит нз трех резонансных контуров, соединенных через параметрический диод. Устройство с переменной индуктивностью фактически повторяет схему, показанную на рисунке, и, следовательно, не нуждается в отдельном анализе. В представленном ниже исследовании предполагается, что усилитель невы-

рожденный, Т. е. что три резонансные частоты хорошо разрешимы. Добротности трех резонансных контуров считаются достаточно высокими, чтобы не было перекрытия между тремя полосами пропускания. Таким образом, на резонансной частоте любого из контуров два других контура имеют бесконечную проводимость.

Заряд qp на параметрическом диоде является функцией напряжения на клеммах Vp. Разлагая эту функцию в ряд Тейлора, можно представить ее в виде

qp(t) = a,v{t)+a,v;(t)+at)+..., (П6.1)

где коэффициенты зависят от конкретных свойств параметрического диода. С точки зрения изучения работы параметрического усилителя неважно, какой физический механизм приводит к нелинейному поведению, описываемому разложением в ряд (П6.1); даже если этот механизм квантовомеханический по своей природе, сам усилитель тем не менее можно исследовать на языке классической теории.

В случае линейной емкости все коэффициенты, кроме первого, в выражении (П6.1) равны нулю и щ - емкость. Если же все коэффициенты равны нулю, за исключением первого и второго, то заряд изменяется в зависимости от напряжения по квадратичному закону

?p(0=c(o+«2f/(0. (П6.2)

где Й1 заменили на линейную емкость Ср параметрического диода. Этот вид нелинейного поведения особенно интересен, потому что он описывает неискаженное усиление (по крайней мере, в приближении малых сигналов). Когда в соотношении между зарядом и напряжением появляются кубические члены или члены более высокого порядка малости, происходит искажение из-за смешения гармоник входного сигнала. Для целей нашего рассмотрения достаточно считать, что заряд изменяется в зависимости от напряжения по квадратичному закону согласно выражению (П6.2). Из этого следует, что ток параметрического диода описывается формулой

.;(0 = =c,--f2«,.,-. (П6.3)

Далее, напряжение на нелинейной емкости можно разложить иа три компоненты

Vp{t)-=v,{t)-{-v,{tyrV,it), (П6.4)

где Vi(t) соответствует сигналу, Vs{t) - высокочастотной накачке и V2{t) появляется из-за нелинейной работы параметрического диода, которая приводит к смешению входного сигнала и на-

пряжения накачки. В этом месте целесообразно записать три напряжения справа в выражении (П6.4) в виде синусоидальных сигналов с частотами, равными резонансным частотам трех разветвлений цепи параметрического усилителя. Тогда имеем

Vp (О = 1 cos i(it+4>i)+V cos +F3 cos КЧ- фз), (П6.5)

где Vi и фг (i=l, 2, 3) - амплитуды и фазы Vi{t). Угловые частоты в формуле (П6.5) связаны выражением

«з = 1+2. (П6.6)

и каждую частоту можно выразить через обозначения элементов схемы на рис. 9.6 следующим образом:

coj = \/VL,{Cp+Ci), t = 1,2, 3. (П6.7)

Объединяя выражения (П6.3) и (П6.5) и пренебрегая всеми членами с частотами, отличными от соь сог или соз, находим ток через нелинейный конденсатор

ipit) = h{i)+hii)+h{i).

(П6.8а)

il (О = -4>iCpVi sin K-f Ф1)-cDiGFag sin [со1--(фз-ф)], 4(0 = -ЮгС/гЗгпК+Ф-г) -C02a2VllзSin[cD2-f-(фз-ф)], (П6.86) is (О = -«зСрзsin (cogf+фз)-CDgGgFila sin [c0з--(фl-f фз)].

Таким образом, ii{t) и Vi{t) имеют одну и ту же частоту со* (i=l,2, 3).

Токи в выражениях (П6.86) можно записать в другом виде

. /.ч dvijt) . aVVg

COS(фз -Ф2 -Ф1)

4(0=c,

-coi&i {f) Sin (фз-Ф2-Ф1)

COS(фз -Ф2 -Ф1) --

-со2&2 {t) sin (Фз-Ф2-Ф1)

(П6.9)

cos(фз-Фа-<Pi) +

+0)303(0 sin (фз-<P2-Ф1)

Далее, проводимость каждого из трех резонансных контуров.