9(0 = -2 [1 +cos(OT-cos(o-

-cosoj(-f-T)]dcu, (2.71>

где Si(co)-спектральная плотность Выражение (2.71)

получается, если записать ковариацию в виде

4it)4{i-h-)=] \ t{t)i{t")dtdt" = о о

= [ f iPi(t~t")dtdt", (2.72>

где ф/ (-/) - автокорреляционная функция флуктуации тока. Применяя теорему Винера - Хинчина, q)i{f-i") записывают в обозначениях интеграла обращения по частоте, содержащего Si (со) в подынтегральном выражении. Изменяя порядок интегрирования и интегрируя по и получают выражение (2.71), Когда т=0, формула (2.71) переходит в выражение

(0=4 гl(l-cos(oO. (2.73)

которое впервые было получено Макдональдом [14]. В случае процесса Винера - Леви S,(<o) не зависит от частоты и может быть вынесена за знак интеграла в выражениях (2.71) и (2.73). Производя интегрирование), получаем подтверждение равенства (2.66). В результате имеем

д (О 9 (/+т) = 9 (О = ts, (ш)/2 = 2kQtjR, (2.74)

где вместо 5,-(ю) подставили выражение Найквиста. Это результат Эйнштейна, записанный также в выражениях (2.64) и (2.67), хотя и получен другим путем.

) Эти интегралы можно вычислить, подставляя вместо со в знаменателе подынтегрального выражения ((й+а) и затем используя тождество

j costu (cu+o)dco=(n/2o)exp(-[cD, чтобы получить выражение для

каждого слагаемого. Значение всего интеграла затем вычисляют как предел при а-»-0.

ви. Имеется соотношение

Выражение (2.71) дает регулярный способ вычисления ковариации процесса случайного блуждания, независимо от формы спектра стационарного процесса, для которого ее выводили. Тогда можно, как показано выше для частного случая процесса Винера-Лёви, получить автокорреляционную функцию и спектральную плотность нестационарных флуктуации. Иным

образом, Si,((u, Т) можно выразить как интеграл, включающий 5f(co) в основную формулу, сходную с выражением (2.71) для ковариации. Однако этот способ содержит громоздкие алгебраические преобразования и поэтому не очень эффективен.

2.12. Взаимная корреляция,

взаимные спектры и когерентность

Огатистические характеристики второго порядка двух стационарных процессов, x{t) и y{t), описываются в терминах функции взаимной корреляции и взаимной спектральной плотности, определенных по аналогии с автокорреляционной функцией и спектральной плотностью единичного стационарного процесса. Таким образом, функция взаимной корреляции имеет вид

т/2 .

Ф,, (т) =Jim x{t-i)y (О dt, (2.75)

а взаимная спектральная плотность - вид

S,j, (со) = lira [2Х (/со) Y* {т)/Т], (2.76)

где Х(/(о) и У(/со)-фурье-преобразования x{t) и y(t) соответственно. Из выражения (2.75) следует, что

(2-77)

а из выражения (2.76) -

S:M= (-со) = (-о,) = SVH. (2.78)

В этих равенствах подразумевается, что x{t) и y{t) описывают реальные процессы. Заметим, что взаимная спектральная плотность- величина комплексная, с действительной и мнимой частями, которые могут принимать отрицательные значения и вследствие симметричности соотношений (2.78), очевидно, являются четной и нечетной функциями со соответственно.

Функция взаимной корреляции и взаимная спектральная плотность являются партнерами по преобразованию Фурье и

S) = 2 J ехр (-/сот) Л, (2.80)

которые иногда считают обобщенной теоремой Винера - Хинчина. Двусторонняя форма записи интегралов используется здесь для краткости. Такая форма не содержит концептуальной трудности (или практической, связанной с измерением) в отношении отрицательных частот, так как симметричность взаимной спектральной плотности, описываемой равенствами (2.78), позволяет правую часть выражения (2.79) записать в виде синус- и косинус-преобразований Фурье, где интегралы берутся только по положительным частотам.

Нормированная взаимная спектральная плотность определяется как

Г.Л«) = 5,,(со)/[5,Л«) S,,(D)]V (2.81)

где 8хх{(й) и Syy{(i,)-спектральные плотности x(t) и y{t) соответственно. Величина Тху{,т) выражает взаимную когерентность между двумя сигналами, и поэтому ее часто называют функцией когерентности. Из неравенства Коши - Шварца следует, что \Тху\ спадает на интервале [О, 1] и что действительная и мнимая части спадают на интервале [-1, 1]. Функция когерентности подчиняется тем же соотношениям симметрии, что и 5ед(со) [выражения (2.78)], но следует отметить, что это эрмитиан, удовлетворяющий условию Тху((а)=Т*ух{(а).

2.13. Линейные системы

Два стационарных процесса x(t) и y{t) часто можно рассматривать как вход и выход линейной системы. Система может быть, например, измерительным прибором, используемым для наблюдения шумового процесса. Такая система, в которой вы-

связаны через пару интегралов обращения, подобных интегралам в теореме Винера - Хинчина. Исходя из записи теоремы Парсеваля и проводя преобразования, аналогичные тем, которые приводят к интегралам Винера- Хинчина, находим выражения