которое переходит в Ш, если hf<kQ. Это - средняя энергия гармонического осциллятора без учета члена, связанного с энергией нулевых колебаний (1/2)/г/. При его учете спектральная плотность флуктуации напряжения выражается в обобщенной форме

которая сводится к известной формуле Найквиста (И.1), когда сложно пренебречь квантовыми эффектами. Из уравнения (11.20), как легко показать, следует, что номинальная мощность шума, приходящаяся на интервал частот df, описывается формулой

...„-{i/+texp(.,ge)-ll}- (1-2)

Некоторые сомнения о включении члена с нулевой энергией в уравнения (11.20) и (11.21) высказывались Мак-Дональдом [8], который указал, что его присутствие предполагает в принципе возможность извлечения энергии из флуктуации в пределе абсолютного нуля, что является неприемлемым.

Казалось бы, довод Мак-Дональда представляет серьезное препятствие для включения члена с нулевой энергией в выражение для теплового шума. Но он основывается на понятии мощности, выделяемой в согласованной нагрузке, которая интерпретируется в «классическом» смысле, т. е. предполагается, что флуктуации подаются в нешумящую нагрузку. Однако в •случае, когда важна конечная величина h, нагрузка (как и источник) является объектом квантовой природы и обязательно ге-

равнораспределении, согласно которой на каждую степень свободы приходится энергия Ш, мы приходим к выражению (ИЛ) для флуктуации напряжения на сопротивлении R (см. приложение 2). Если квантовыми эффектами можно пренебречь, т.е. частота и температура таковы, что квант энергии Щ много меньше тепловой энергии А6, то справедлива теорема Найквиста. Напротив, если hfkQ, необходимо воспользоваться обобщенной фор-1мой теоремы.

Найквист сам указал на это обстоятельство и предположил, что вместо энергии Ш, используемой в теореме о равнорас-пределении, в общем виде средняя энергия, приходящаяся на степень свободы, должна описываться выражением

нерирует шум. Существование нижнего квантового предела для шума в системе рассматривалось для случая линейного усилителя в разд. 11.3. В низкотемпературном пределе это обусловливает компенсацию потока мощности шума от сопротивления источника в нагрузку равным, но противоположным потоком от нагрузки к источнику. Таким образом, энергия нулевых флуктуации сопротивления источника ненаблюдаема, не существует никакой возможности выделить чистый поток шумовой мощности от прибора, который мог бы использоваться, например, для приведения в движение другой системы. Этот аргумент подчеркивает важный фундаментальный принцип квантовой механики: поведение физической величины может быть определено, если только принят во внимание способ, посредством которого она наблюдается.

Очевидно, что включение члена с нулевой энергией в выражение, подобное уравнению (11.20), описывающее спонтанные флуктуации, не подразумевает физически несостоятельное поведение в низкотемпературном пределе. Следует заметить, что это заключение не умаляет значения проблемы, поднятой Мак-Дональдом в начале 1960-х гг., и что в его статье поставлено много интересных вопросов, касающихся применения квантовой механики к проблемам, включающим тепловой шум, броуновское движение и необратимость.

Из обсуждения пока что следует, что член с нулевой энергией включается в выражение для шума, что называется «с потолка». Тот факт, что это не приводит к нежелательным последствиям при нулевой температуре, не доказывает необходимость его введения. Общее доказательство справедливости уравнения (11.20) было дано Калленом и Вельтоном [1] на основе расчета испускания и поглощения квантов знерггш электронами в сопротивлении. Это доказательство интересно тем, что оно не опирается на произвольное введение члена с нулевой энергией, и не делается никаких ссылок на понятие нулевой энергии, хотя в окончательном результате появляется член (1/2)/г/.

В большинстве практических задач влияние нулевой энергии на шум не проявляется. Однако при расчете теплового шума в мазере важно учитывать член с нулевой энергией, по крайней мере при теоретическом анализе, так как в этом случае результат допускает простую физическую интерпретацию (разд. 11.6) Что касается измерений спектральной плотности теплового шума в области, где необходимо применять квантовые модификации теоремы Найквиста, то они в настоящее время автору не известны. Ситуация может измениться благодаря проводимым, в Университете шт. Флориды [13] экспериментам с радиочастотным контуром типа Ханбури - Брауна - Твисса,

работающим на частоте 100 кГц. Их целью является измерение теплового шума при условии hfkQ и обеспечение, таким образом, экспериментального исследования формы его спектральной плотности в случае, когда нельзя пренебречь квантовыми эффектами.

11.5. Поглощение и испускание излучения веществом

Работа мазера основана на взаимодействии электромагнитного излучения со средой, при котором происходит заполнение атомами или молекулами по крайней мере двух энергетических уровней. Чтобы исключить двусмысленность, предположим, что активная среда состоит только из молекул. В мазере вынужденное излучение возникает при переходе молекулы с верхнего энергетического уровня на нижний под воздействием первичного излучения. Этот механизм ответствен за процесс усиления. Он является существенно квантовым по своей природе, не допускающим прямой классической интерпретации. С этой точки зрения действие мазера довольно необычно в том смысле, что является макроскопическим проявлением квантовых явлений.

Между энергетическими уровнями системы существуют три типа радиационных переходов: уже упомянутое вынужденное излучение, спонтанное излучение и поглош,ение. (Возможны также безызлучательные переходы, при которых возбуждаются колебания решетки или фононы, но они не имеют отношения к настоящему рассмотрению.) Два последних процесса дают вклад в шум мазера, так как представляют собой случайные, независимые переходы между уровнями. Они ответственны за внутренние тепловые шумы в системе. Как будет показано в разд. 11.6.1, выражение для спектральной плотности теплового шума содержит два члена, один из которых можно связать со спонтанным излучением, другой - с поглощением. Прежде чем детально исследовать шум, полезно кратко рассмотреть физические принципы работы мазера на основе понятий, введенных Эйнштейном.

11.5.1. Обмен энергией в двухуровневой системе

Для простоты предположим, что отдельная молекула характеризуется двумя энергетическими состояниями с энергиями Ех и £2. На рис. 11.4 представлена двухуровневая система с Е2> >>Ei. Переход на нижний уровень сопровождается излучением