ГЛАВА 10

АНАЛИЗ СИСТЕМ ПО ПЕРЕДАТОЧНЫМ ФУНКЦИЯМ

Приведены алгоритмы расчета частотных характеристик « определения нулей « полюсов передаточной функции, а также алгоритмы получения функций чувствительности различных характеристик линейных систем. Математическая модель системы предпсиагается заданной в виде дробио-рациональной передаточной функции. Если система задана уравнениями состояния или структурной схемой, необходимо предварительно найти ее передаточные функции, используя алгоритмы, приведенные в гл. 1.

IO.I. РАСЧЕТ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

По заданной передаточной функции вида

W{p +...+&.

an р"- + ... + Оо

будем находить амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) lF(jcu), логарифмическую АЧХ L(cu) и фазочастотную характеристику (ФЧХ) ij)(cu). Искомые характеристики получаем, подставляя в (10.1) р=](л:

[Ц7(]со) = Г(со)--ГМсо).

L(co) = 201gr(jco), (10.2)

(со) = arg W (j со) = arg (Wr (со) + j Wi (со)).

Здесь IFr(cu), IFi(cu) - вещественная и мнимая частотные характеристики:

»W=5+£i,,,,,= A=. „0.3,

Действительные и мнимые части значений полиномов при р = ]&):

Лн = ао-2 co-l-«4 со-fle - , Ai = fli со-«3 co-f «5 а-а, co-f ... ;

fii = biCu-6з со"-!-ббСоВ-Ь,©(10.4)

Вычислять эти выражения удобно по схеме Горнера. Например, вычисление Ar производится по рекуррентным формулам:

Сп=ап;

Ci = ai-Ci+2(i>, i=n-2, n-4, 0;

Ar = Co,

где n=n, если n - четное, и п=п-\, если п - нечетное. Аналогично вычисляются Ах, Br, Вх.

При расчете частотных характеристик на больших частотах возникает опасность переполнения разрядной сети ЭВМ. Действительно, пусть п=10, <й=10, тогда получаем А, Ai порядка 10». При возведении их в квадрат в формулах (10.3) получаем числа порядка 10*», вычисление которых приводит к переполнению разрядной сетки большинства ЭВМ. Иногда в таких случаях рекомендуют хранить числа в логарифмическом масштабе [76], но при этоМ сушественно увеличивается время счета. В то же время несложные преобразования формул (10.3), (10.4) позволяют предотвратить переполнение.

При больших значениях частоты будем использовать представление частотной характеристики в виде

Ц7 (j (О = &n-b6n-i(ico)--b...-F&,(ico)-" an + an~i (j co)-i -Ь ... + flo (iw)-"

Тогда величины Ar, Ai, Br, Bi в (10.3) будем вычислять по формулам:

= fln-«71-2 «~ + an-4 и-" - - ,

Al = -a„-i co-i + a„ 3 со-з-а„ в co-s + ... , (10.5)

Br = b-b- o)-2 -I- CO-" -... ,

Bl = -co-i -f b„ 3 со-з-cu-5 + ... .

Чтобы предотвратить переполнение при вычислении суммы квадратов, преобразуем также формулы (10.3), представив их в виде

(со) = f + j , Wi (со) = f- " , (10.6)

Лк=Лн/а, Ki=Aila; BR=Bs!la, Bi = Bila,

а=Ик + 1Л,. (10.7)

Использование на больших частотах формул (10.5) -(10.7) практически гарантирует от переполнения.

Алгоритм вычисления значений частотных характеристик по заданной передаточной функции (10.1) и заданной частоте будет следующий:

1. Вычислить Ar, Al, Br, Bl при col по формулам (10.4), а при со>1 - по формулам (10.5); при расчете использовать схему Горнера.

2. Определить Ar, Ai, Br, Bi по формулам (10.7).

3. Найти значения вещественной и мнимой частотных характеристик по формулам (10.6).

4. Найти значения искомых частотных характеристик по формулам (10.2).

Величину фазы i3(cu) мы получаем в пределах от -л; до п. Однако обычно ФЧХ определяют следующим образом:

ф(<й) = фо + Аф (со).

Здесь фо - начальная фаза, равная

фо=(т-;)л/2, (10.8)

если ао= ... =ai-i = 0, щфО, Ьо = ... = 6m-i = 0, ЬтФ; Аф(сй) - угол, на который поворачивается вектор W{]a) при изменении со от О до со. Характеристику ф((й) нетрудно рассчитать для последовательности возрастающих частот (йо = 0, т, т, если приращения частоты не очень велики. Для этого следует учитывать, что ф(сй) является непрерывной функцией частоты и что значения ф(сйг) и ф(1Сй,-) отличаются друг от друга на 2kn, где k - целос число. Схема алгоритма расчета значений ф4-=ф((йг) ПО заданным значениям ф 1 = ф(Сй4-1) и i3i=il)((ui) представлена на рис. 10.1. Значение фо рассчитывается по формуле (10.8).

Подпрограмма FREQ

Назначение: вычисление частотных характеристик l(ju)), L(u)), iKm) по заданной дробно-рацио1нальной передаточной функции и заданной частоте. Обращение: CALL FREQ (А, В, N, OMEGA, AMP. AL, PSI). Параметры:

A - массив коэффициентов знаменателя передаточной функции в

порядке возрастания степеней р,

В - массив коэффициентов числителя передаточной функции в по-

рядке возрастания степеней р,

N - порядок передаточной функции,

OMEGA - значение круговой частоты, при котором рассчитываются характеристики, AMP - значение АЧХ W(ju)), AL - значение логарифмической АЧХ i(co),

PSI - значение ФЧХ гш) в градусах.

На основе подпрограммы FREQ написана программа, предназначенная для построения характеристик L() и ф((п) по заданной передаточной функции в заданном диапазоне частот. Ее исходные данные: А, В - массивы коэффициентов знаменателя и числителя передаточной функции; N - порядок пере- . даточной функции; WMIN, WMAX - минимальное и максимальное значения частоты.

Результаты выводятся на АЦПУ с помощью подпрограммы GRAFIK (см. § 12.4) в виде графиков в логарифмическом масштабе, из расчета 11 точек на декаду.

( Начало ]

9-1 = <Pi