значения для производных из уравнения (4.37) и выполним операцию усреднения по множеству. В результате получим

b4t)=FD,it)+D,(t)F-+zmm-+4{t)z4t), (4.38)

где чертой обозначены средние значения, которые следует определить. Для этой цели запишем вынужденное решение уравнения (4.37), обусловленное действием случайной функции i,{t). Принимая начальные условия нулевыми, будем иметь

z{t)= \ Ф(1,х)Ы{т)йх. (4.39)

где Ф(, т) - фундаментальная матрица, соответствующая системе (4.37) и определяемая уравнением

-Lф(t,x) = FФ (t, X), Ф (t, t) = I. (4.40)

Умножим теперь обе части равенства (4.39) на {t) и выполним операцию усреднения по множеству в обеих его частях. Принимая во внимание, что по условию b,{t)i,{x) =b{t-т) в результате выполнения указанных операций будем иметь

z it) I it) = \ Ф{1, x)hl{t)l{x)dx = о

= ф{t,т)h8(t-x)dx= -Lфit,t)-h, (4.41)

о 2 2

поскольку согласно (4.40) фундаментальная матрица Ф( t) равна единичной. Отметим, что множитель 1/2 здесь появляется вследствие того, что при верхнем пределе интегрирования матричная функция 0{t, х) претерпевает скачок.

Аналогично (4.41) мокно найти другое среднее значение, входящее в равенство (4.38):

g (О (О = j it, т) I it) I (т) dx = - h. (4.42)

Следовательно, с учетом выражений (4.41) и (4.42) окончательный вид дифференциального уравнения (4.38):

b,(t)=FD4t)+D4t)F-+hh\ (4.43)

Это уравнение является искомым, оно интегрируется при нулевых начальных условиях Dz(0)=Ojvjv.

В стационарном случае, когда F = const, h = const, установившееся значение Dz(c») =const. Диагональные элементы этой матрицы представляют собой установившиеся значения дисперсий координат СОСТОЯНИЯ Zl, Zn исследуемой системы. При этом

dNNi<X>) =02у(оо).

Таким образом, для оценки статистической точности системы в переходном режиме необходимо выполнить следующее.

1. Определить дифференциальное уравнение (4.34) формирующего фильтра для заданной спектральной плотности 5»(со).

2. Представить дифференциальные уравнения исследуемой системы (4.33) и формирующего фильтра (4.34) в виде (4.35) расширенной системы.

3. Сформировать матрицу F и вектор h расширенной системы согласно (4.36) и (4.35).

4. Записать дифференциальное уравнение (4.43) для матрицы Dz(t) вторых центральных моментов координат состояния.

5. Выполнить интегрирование матричного уравнения (4.43) на интересующем интервале времени.

Диагональный элемент djvjv(0 матрицы Dz{t) будет представлять собой искомую дисперсию выходной переменной y{t) исследуемой системы.

Пример. Рассмотрим систему, модель которой представлена уравнениями (4.29). В данном случае для обозначений, принятых в (4.33), имеем

Пусть, как н ранее, спектральная плотность 5i(o)) случайного процесса x(t) определяется выражением (4.28). Тогда дифференциальное уравнение формирующего фильтра будет иметь вид (4.31).

Для принятых в (4.35) обозначений справедливо в рассматриваемом случае gR=-2, ge2=2; qA=(-2 -7), qb = 2. Следовательно, система уравнений (4.35) имеет вид

x(t)= -2х{,1)+У2 1(0; У(0 =

х(0.

(4.44

у (О = (-2 -7) у (0-1-2 л; (О-

Искомой является дисперсия ау(0 выходной переменной y.{t).

Состояние расширенной системы (4.44) характеризуется 4-мерным вектором 2=(х У1 Угу)- Матрица F н вектор h уравнения (4.37) равны

Дифференциальное уравнение для матрицы Dz(0 размера (4X4) непосредственно следует из (4.43) после подстановки выражения для F и h. Диагональный элемент строки 4 матрицы \>z[t) представляет собой искомую дисперсию, т. е. d{i)=(,\(t).

Методика определения статистической точности систем в переходном режиме без затруднений обобщается на многомерный случай.

4.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

При исследовании нелинейных систем расчет статистических характеристик выходных переменных не всегда может быть выполнен непосредственно по уравнениям системы. Если аналитический расчет невозможен или вызывает затруднения, прибегают к имитационному моделированию, которое выполняют, численно интегрируя дифференциальные уравнения, описывающие систему управления. Искомые характеристики вычисляют по полученным реализациям выходных переменных. При таком подходе возникает задача моделирования случайных входных воздействий.

Выше было показано, что случайный процесс с дробно-рациональным спектром можно получить, пропуская белый шум через линейную динамическую систему (формирующий фильтр). В этом случае необходимо каким-то образом моделировать белый шу.м. Трудность заключается в том, что белый шум является абстракцией и представляет собой некоррелированный случайный процесс, дисперсия которого в каждый момент времени равна бесконечности.

В настоящем параграфе представлен алгоритм моделирования стационарных случайных процессов с экспоненциальной корреляционной функцией. На основе этого алгоритма может быть получен случайный процесс с произвольным дробно-рациональным спектром.

Рассмотрим стационарный случайный процесс x{t) с корреляционной функцией

Л:(т)=Ве-°1т1. (4.45)

Спектральная плотность процесса определяется как преобразование Фурье корреляционной функции: 5j;(ai) =2Da/(a-f-tt>)-При цифровом моделировании необходимо получить реализацию этого процесса в дискретные моменты времени ti (i-0, 1,...). причем интервалы времени Ati = ti-tii не обязательно равны между собой.

Будем генерировать случайный процесс по следующим формулам:

x(o) = /D?o; x(ti)=aiX{ti-i)-bili, i=l, 2,... (4.46)

Здесь - независимые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Коэффициенты а,-, bi найдем из условий обеспечения требуемой дисперсии процесса и требуемой корреляции между значениями процесса в двух соседних точках. Эти условия дают уравнения

N[[xHti)]=D==aiD-Jrbi,

M[x(/,)x(ff ,)] =:Ое-°ли = аА

Здесь М[-] обозначает математическое ожидание. Решая эти уравнения, получаем

а, = е-"-; = УЩ- (4-47)