числителей делится на {k-1)-ю степень знаменателя. На основе найденных соотношений предложен алгоритм формирования по заданной передаточной матрице уравнений состояния минимального порядка. Полученные условия используются также в численной процедуре обращения передаточной матрицы и для нахождения передаточных функций замкнутой системы по известным передаточным функциям разомкнутой системы. Указанные задачи решаются применительно к динамической системе, описываемой уравнениями

х=Ах-ьВи, y=Cx4-Du, (1.42)

где х= (xi... x„)t; u= («1... ыг)т; у= (г/i... г/то). Эта же система может быть представлена в виде вход-выходного соотношения у= =W{p)u с передаточной матрицей

W{p)=R{p)/g(p), (1.43)

rAeR(p)-полиномиальная матрица числителей; q{p) = \pl-А - характеристический полином. Переход от уравнений состояния (1.42) к передаточной матрице (1.43) осуществляется по формуле

W(p)=C(pI-A)-B-bD.

Основные соотношения сформулируем в виде двух теорем. При доказательстве первой будет использовано равенство

{1-44)

Е IGE-1F + HI =

- G Н

справедливое для произвольных матриц Е, F, G, Н подходящих размеров, если Е:й=0. Действительно,

= Е GE-F-f-H.

Здесь 1„, h - единичные матрицы соответствующих размеров.

Теорема 1. Пусть динамическая система, заданная в виде уравнений состояния (1.42), имеет передаточную матрицу (1.43). Тогда произвольный минор k-ro порядка матрицы числителей R(p) делится без остатка на q~{p). В частности, все миноры второго порядка R(p) делятся на q(p).

Доказательство. Выберем произвольно k входов и k выходов в системе (1.42). Образуем для выбранных входов и выходов из матриц В, С, D, соответственно матрицы В, С, D, а также матрицу числителей R(p) размера kXk. Используя (1.44), имеем

R(P)I

= qip)

R(P)

Я(Р)

= lpI-A C(pI-A)-i B-f Dl =

pi-A

- С ;D

в результате деления минора k-ro порядка матрицы R(p) на (р) получили полином, что доказывает теорему. Вторая теорема является обратной к первой. Для того чтобы ее доказать, сформулируем и докажем несколько лемм.

Лемма 1. Пусть а(р), Ь(р)-заданные полиномы степеней п и т, с(р) - полином, степень которого меньше п + т. Уравнение

а{р)х{р)+Ь{р)у{р)=с{р), (1.45)

где степень полинома х{р) меньше т, а степень полинома у(р) меньше п, имеет единственное решение тогда и только тогда, когда полиномы а{р), b (р) взаимно просты.

Доказательство. Уравнение (1.45) эквивалентно системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов неизвестных полиномов

[у J

= с,

(1.46)

где \=(xq ...х-у; у={уо ...Уп-\У\ с={со ...Cn+m-iY; S-матрица Сильвестра [93]. Определитель матрицы S (результант Сильвестра) отличен от нуля тогда и только тогда, когда полиномы а{р), Ь{р) взаимно просты. Следовательно, уравнение (1.45), как и уравнение (1.46), имеет единственное решение тогда и только тогда, когда полиномы а(р), Ь{р) взаимно просты. Лемма 2. Пусть заданы

Уравнение р1-А ; X 111ь";"0

••с{р).

(1.47)

где х= {xi... Хп), имеет единственное решение тогда и только тогда, когда полиномы а(р) =p"-ban-iP"~4-...-fao, b{p) = = 6n ip"-i-f ... -\-bo взаимно просты.

Доказательство. Уравнение (1.47) приводится к системе линейных алгебраических уравнений Вх=с, где В -матрица Везу [93]. Определитель матрицы В (результант Везу) отличен от нуля тогда и только тогда, когда полиномы а{р), Ь{р) взаимно просты.

Лемма 3. Пусть ?(р) =p"-f?„-ip"-i-f ...-fo, S{p)-{mXl)-матрица, элементы которой - полиномы степени ниже п. Пусть также среди элементов матрицы S(p) есть взаимно простой с Я{р) и все миноры второго порядка матрицы S(p), содержащие этот элемент, делятся на q{p). Тогда: 1) передаточная матрица

S{p)fq(p) может быть реализована в виде уравнений состояния порядка п; 2) произвольный минор k-ro порядка матрицы S(p) делится на q>-{p).

Доказательство. Найдем конкретную реализацию уравнений состояния (А, В, С), имеющую заданную передаточную матрицу S(p)/q{p). Поскольку степень матрицы числителей строго меньше степени знаменателя, то D=0.

Не теряя общности, будем считать, что элемент матрицы S(p), взаимно простой с q{p), есть Sn(p). Составим минор второго порядка, содержащий Sii(p). Поскольку он делится на q{p), справедливо равенство

Snip) р)ур) (1.48)

Snip) Sij(p)

где yij(p)-некоторый полином степени ниже п-1. Из этого равенства получаем уравнение

Su (р) Sij ip) -q ip) у a ip) =Sii (p) Sl, (p)

относительно полиномов Sij{p), ytjip), которое в силу леммы 1 имеет единственное решение. Таким образом, передаточная матрица S(p)/q{p) однозначно определяется по своему первому столбцу и первой строке и для ее реализации в виде уравнений состояния достаточно найти матрицы А, В, С, такие, чтобы совпали первые столбцы и первые строки матриц С(р1-А)-*В и S{p)/q{p). Примем

Коэффициенты матрицы С выберем такие, чтобы обеспечить требуемые числители первого столбца передаточной матрицы, т. е. из условий 5,1 (р) =C{i-f-Ci2P+•••-fCinP"~S 1=1,..., ГП. Коэффици-енты матрицы В выберем из условий обеспечения требуемых числителей первой строки передаточной матрицы. Эти условия приводят к уравнениям

Р}-Л: s,j{p), j = 2, ... ,/. (1.49)

-Ci ;0

Здесь Ь,-/-Й столбец матрицы В; Ci - первая строка матрицы С, коэффициенты которой совпадают с коэффициентами полинома Snip). Поскольку полиномы q{p), Sn(p) взаимно просты, уравнения (1.49) в силу леммы 2 имеют единственные решения, полностью определяющие матрицу В.

Мы реализовали передаточную матрицу S{p)/q{p) в виде уравнений состояния порядка п. Но тогда согласно теореме 1 произвольный минор k-TO порядка матрицы числителей S(p) делится на q~ (р). Оба утверждения леммы доказаны.