Пусть задана устойчивая система эталонного движения

х*(0=Гх*(0, х*(0)=х*о. (7.52)

Предполагается, что структура модели (7.52) в точности соответствует структуре модели (7.49) управляемой системы. Это означает, что обе системы имеют одинаковое число степеней свободы, а их уравнения движения записаны в единой канонической форме.

Сформулируем задачу следующим образом. В начальный момент состояние управляемой системы характеризуется значением х(0)=Хо. Требуется определить параметры Суц закона управления (7.51) из условия, чтобы функционал

/(С)= ] [x{t. C)-x*(t)]-V[x{t, О-о

x*(t)]dt, V = V>0. Те (О, оо);

(7.53)

принимал минимальное значение, если х*о = хо. Как следует из постановки задачи, минимизация /(С) обеспечивает приближение x(t)-x*(t) в свободном движении сравниваемых систем.

Итак, рассматриваем задачу определения оптимальных значений параметров [с*ц ]=С* закона управления, при которых достигается минимум /(С). Чтобы воспользоваться приведенной ранее методикой решения этой задачи, преобразуем исходные уравнения (7.49), (7.51) к удобной форме. Введем k векторов

образованных из столбцов матрицы С. Кроме того, из строк матрицы Н определим также k векторов:

С учетом принятых обозначений сн -= [Ci ... Cft]

= 2 ЧК-

Следовательно, уравнения оптимизируемой системы (7.49), (7.51) можно представить в виде

к(0 = Ах (0+Ви (0 = F(x, U), " = ( S ShO x = G(x,C).

(7.54)

Далее поступаем по обычной схеме. Находим приближенную явную зависимость вектора состояния х( С) от искомых параметров, используя функции чувствительности, и задачу минимизации исходного функционала /(С) сводим к последовательной минимизации функционалов /(б*). Принимая С = С°-Ьб, определяем (лХ?п)-матрицы чувствительности

П(.С) =

dx(t. С)

ас,.

, р,= 1, 2, ... , k,

вектора состояния управляемой системы по отношению к изменениям ее параметров. Кроме того, введем (тХп)-матрицы

du(t, С)

дс..

t \ 1J 2, ... f ky

чувствительности управляющих функций.

Согласно (7.54) справедливы следующие равенства:

dx(t. С) р ах(<. С) р аи(<.С) .

ас,.

дс..

(7.55)

aF(x,u) . р дГ (х,и) .

•" ах аи •

ао(х, С) „ go (X, С)

дх дс

В соответствии с (7.54) частные производные равны F, = A;F„ = B; 0,= 2 h- 0 = h;x (/, С).

С учетом этих выражений равенства (7.55) принимает вид dk(t,C) dx(t. С) аи(Л С) .

(7.56)

ас.,

ас..

ди (t дс

ц=1, 2, k.

Приняв здесь 6=0, получим уравнения для функций чувствительности

% it, С) = \ЧГ и. С) + Вв if, с») ; (7.57)

[t. С») = ( 2 со ) it, С«) + hi X {t. С).

\/=i /

i=l, 2.....k.

Эти уравнения должны интегрироваться при нулевых начальных условиях, т. е. Чц (О, С°)=0 (ц=1, 2, k). Входящая в (7.57) вектор-функция x{t, С) определяется в результате интегрирования уравнения

х(/, С0) = (A-f ВС0Н)х(/, С»), х(0, СО)=хо, (7.58)

которое следует из (7.49), (7.51) при С = С°.

Таким образом, функции чувствительности вычисляются по (7.57). Так как второе из этих соотнощений является конечным, то вместо (7.57) можно записать

Wi,{t. CO) = (A+BCm),{t,C) + B[h\x{t, СО)],

H=l,2,...,k. (7.59)

Следовательно, для определения функций чувствительности замкнутой системы необходимо интегрировать k матричных уравнений (7.59) и одно векторное (7.58).

Считая известными Тц (/, С°) и х(/, С°), представим вектор состояния x(t,C) ~x{t, C-ffi) приближенным выражением

x(/,C)«x(f.C»)+ 2 P>.{t,C°)6, (7.60)

которое устанавливает явную зависимость х(/. С) от параметров

Суц закона управления,. Подставив (7.60) в (7.53), получим

dt, (7.61)

2 Ч(/,С<>)б,-А(С<>)

где вектор-функция

А(./, С)=х*(0-х(/. С») (7.62)

характеризует отклонение фактической траектории движения от назначенной. Для сокращения записи в (7.61) принято обозначение фРг = фф.

Итак, задача приближения х(/, С)х*(t) при известном значении С° сведена к отысканию векторов fi, минимизирующих функционал (7.61). Минимум /(б) достигается при таких значениях бц , которые удовлетворяют системе векторных уравнений

% =0, б = (бС1 ... бc„) fx = l,2.....k. (7.63)

Чтобы получить эти уравнения в раскрытой форме, выполним 158