при доказательстве следующих двух лемм будет использована теорема об определителе суммы матриц [74]. Согласно этой теореме определитель суммы двух квадратных матриц порядка л равен

А+В= 2 2 {-IpMfMLi. (1-50)

Здесь тИг -минор г-го порядка матрицы А; Мп-г - взаимно дополнительный минор (п-г)-го порядка матрицы В; Ог - сумма номеров строк и столбцов, которые образуют минор М-г или Мп-г- Второй знак суммы в (1.50) указывает на то, что суммируются все полученные таким образом произведения миноров для каждого значения i. Предполагается, что Мо = Л1*о= 1-

Лемма 4. Пусть а{р) -полином, А(р) -полиномиальная матрица степени, меньшей, чем степень а(р), произвольный минор k-ro порядка которой делится на аЦр). Пусть также а(р) = = Ь(р)с{р), где Ь{р), с{р)-взаимно простые полиномы. Тогда дробно-рациональную матрицу А(р)1а{р) можно представить в виде

A(EL = AiPL + S(pL, (1.51)

alp) b(p} с(р)

где В (р) - полиномиальная матрица степени, меньшей, чем степень Ь{р), произвольный минор k-ro порядка которой делится на Ь-(р); С(р) - полиномиальная матрица степени, меньшей, чем степень с{р), произвольный минор k-ro порядка которой делится на с-(р).

Доказательство. Умножив (1.51) на а(р), получим: А(р) = с(р)В(р)-Ь6(р)С(р).

Используя лемму 1, находим матрицы В(р), С(р), которые определяются единственным образом. Докажем теперь делимость миноров k-ro порядка матриц В(р), С(р) соответственно на Ь~(р), с~(р). Доказательство проведем методом математической индукции.

Очевидно, что при k=\ делимость выполняется, поскольку любой полином делится на единицу. Предположим, что делимость выполняется при k=\.....j-I, и докажем, что тогда она выполняется и при k=j. Выберем произвольно / строк и / столбцов матриц А(р), В(р), С(р) и образуем из них соответственно матрицы А(р), В(р), С(р). Используя теорему об определителе суммы матриц, имеем

A(p)l=c4p)lB(p)i-f6/(p) iC(p)i-f s(p), (1.52)

s (Р) = ? 2 (-1)" с (р) МРЬ- (р) mU- (1.53)

2-69 33

Согласно нашему предположению, миноры Mf, Mf-i в (1.53) делятся соответственно на 6"(р) и с~»""(р); поэтому s(p) делится на b-(p)c~Цp). Поскольку А(р) также делится на Ь-~(р)сЬ1(р)=аз-1(р) (как минор /-го порядка матрицы А(р)),

то и выражение c(p)\B{p)\+bi{p)\C(p)\ в формуле (1.52) делится на Ь-Чр)с-Чр). а так как полиномы ь{р), с{р) взаимно

просты, то В(р) делится на Ь~Цр), а С(р)-на с-(р).

Таким образом, мы доказали делимость миноров при k==j. Применяя математическую индукцию, получаем, что миноры k-ro порядка матриц В(р) и С(р) делятся соответственно на b~{p) и c~{p) при любом допустимом k. Лемма доказана.

Лемма 5. Пусть полином а{р) имеет вид а(р)~а(р), где а(р) -полином первой степени или полином второй степени, имеющий комплексно-сопряженные корни (неприводимый полином). Пусть также А (р) - полиномиальная матрица степени, меньшей, чем степень а(р), произвольный минор k-vo порядка которой делится на a{p). Тогда либо среди элементов матрицы А(р) есть взаимно простой с а(р), либо дробно-рациональную матрицу Х{р)/а{р) можно представить в виде

A(PI=A(PL+S(PL, (1.54)

а{р) Ь(р) с(р)

где 1) а{р)=Ь{р)с(р); 2) В(р), С(р)-полиномиальные матрицы, степени которых соответственно меньше степеней полиномов 6(р), с(р); 3) произвольный минор k-ro порядка матрицы В(р) делится на Ь~Чр), а матрицы С(р)-на c{p), 4) среди элементов полиномиальной матрицы В(р) есть взаимно простой с 6(р).

Доказательство. Предположим, что среди элементов матрицы А(р) нет взаимно простого с а(р). Тогда А(р) =с(р)D(p), a(p)=c{p)b(p), где с(р)-наибольший общий делитель а(р) и элементов матрицы Л(р). Среди элементов полиномиальной матрицы D(p) есть взаимно простой с а(р). Не теряя общности, будем считать, что это du (р).

Представим матрицу А(р) в виде

А(р)=с(р)В(р)+6(р)С(р). (1.55)

Матрицу В(р) построим следующим образом. Первый столбец и первую строку этой матрицы примем равными соответственно первому столбцу и первой строке матрицы D(p), остальные элементы определим из уравнений вида (1.48) так, чтобы миноры второго порядка матрицы В(р), содержащие элемент Ьи{р), делились на Ь{р). Тогда согласно лемме 3 произвольный минор k-ro порядка матрицы В р) делится на b~{p).

Докажем, что С р) - полиномиальная матрица, произвольный минор k-ro порядка которой делится на с~{р). Это утверждение эквивалентно следующему: произвольный минор -го порядка матрицы Е(р) =Ь(р)С(р) делится на b (р) с-Цр). Очевидно, что

это утверждение справедливо для всех миноров, содержащих первый столбец или первую строку матрицы Е(р), поскольку эти миноры равны нулю.

Выберем произвольно k строк матриц А(р), В(р), Е(р), за исключением первой, и k столбцов этих матриц, за исключением

первого. Образуем матрицы А(р), В(р), Ё(р), состоящие из первой строки, первого столбца и выбранных строк и столбцов матриц А(р), В(р), Е(р). На основании теоремы об определителе суммы матриц имеем

1А(р)1 = с(р)В(р) + Ё(р)== s 2 {-\rc{p)Mfм+,-t .

(1.56)

Определитель матрицы Е(р) равен нулю, а среди миноров -го порядка этой матрицы есть единственный, который может быть ненулевым, поэтому (1.56) можно записать в виде

\А{р)\ = с{р)Ь,,{р)м1 + 2 i-\pc{p)Mf Mf+i-i. (1.57)

При k=l получаем

IA (p) I = с (p) bu (p) (p) +c (p) I В (p) I.

Поскольку в этой формуле А(р) делится на а(р) =Ь{р)с{р)

(как минор второго порядка матрицы А(р)), а В(р) - на Ь(р) (как минор второго порядка матрицы В(р)), то член с{р)Ьп{р)Х XSijip) делится на Ь{р)с{р). Полиномы Ьи{р) и с(р) взаимно просты, так как взаимно просты полиномы di\{p)=bn{p) и а(р); поэтому элемент eij{p) матрицы Е(р) делится на 6(р). Таким образом, при k= \ произвольный минор k-TO порядка матрицы Е(р) делится на Ь{р)с- {р).

Предположим, что при k=\,..., j-1 произвольный минор -го порядка матрицы Е(р) делится на Ь* {р) с*- {р), и покажем, что тогда делимость выполняется и при к=]. Запишем (1.57) при k = j в виде

А(р)=с(р) V(p)Mf +s(p), где S (р) = s 2 ( - If c (р) Mf Mf+i ,.

Минор Mi делится на Ь~Чр), а минор Mj+i-i делится на bi+-i{p)c-i[p) (из нашего предположения); поэтому s(p) делится на bi(p)cJ{p). А так как А1(р) делится на аЦр) =ЬЦр) сЦр), той член c{p)bii{p)Mj делитсяна Ьз{р)с{р). Поскольку b\i(p)ii

2* 33