dt, (7.76)

вательно, если величину х выбрать из условия, чтобы все корни характеристического уравнения det [А-(х+р)!] =0 имели отрицательные действительные части, то система (7.73) будет устойчивой при С = 0. Такая модель должна быть принята для построения алгоритма оптимизации.

Аналогично (7.72) выполним замену переменных в уравнении эталонного движения, приняв

x*i>t)=x*it)e-K (7.74)

В таком случае вместо (7.52) будем иметь

= (Г х I) X* ц), x* (0) = Хо. (7.75)

На движениях систем (7.73), (7.75) определим функционал

7(С)= ( x(t,C-x*it) о

который получается из выражения (7.53) после замены в нем векторов состояния. Приближение х( C)->-x*{t) по минимуму (7.76) дает искомое оптимальное значение матрицы С = С* параметров закона управления.

Сравнивая (7.49), (7.51) соответственно с (7.73) и (7.75), заключаем, что новая задача оптимизации полностью аналогична исходной, различия - только в обозначениях. Следовательно, расчетные соотношения алгоритма оптимизации, полученные ранее, справедливы и для данного случая. Необходимо только в этих соотношениях заменить матрицы:

А=А-х1А; Г=Г-х1Г. (7.77)

Вычислительный процесс организуется следующим образом. Сначала выполняется анализ управляемой системы на устойчивость. Если собственное движение x{t) системы неустойчиво, проводятся преобразования уравнений математических моделей. Значение X выбирается такое, чтобы x{t)-0 при too. Выбор х не вызывает затруднений, особенно если процедура оптимизации проводится в диалоговом режиме с ЭВМ. После выполнения преобразований (7.72), (7.74) в массиве числовых данных осуществляется замена матриц А, Г согласно (7.77). Затем управление передается на основной алгоритм оптимизации. При этом вычислительный процесс начинается при €" = 0. Если собственное движение управляемой системы устойчиво (х(0->0), регуляризация алгоритма не выполняется; процесс оптимизации проводится непосредственно по исходным уравнениям.

УПРАВЛЕНИЕ ВЫХОДОМ В СВОБОДНОМ ДВИЖЕНИИ

Исходные уравнения математической модели управляемой системы принимаем в следующем виде:

i(0=Ax(0 + Bu(0.y(0=Qx(0:

u(x)=Cz(0=CHx(0. (7.78)

Используемые здесь обозначения соответствуют ранее принятым.

Рассматриваем задачу управления свободным движением - перевод системы из точки х(0)=Хо в начало координат х = 0; требуется, чтобы переходной процесс по выходным переменным yi(t), yit), yr{t) протекал в процессе управления по предписанному закону, который определяется математической моделью

х*(0=Гх*(0, х*(0)=Хо; у*(0=ОмХ*(0- (7.79)

Точное выполнение равенства x(t)=x*it) достигается только в том случае, когда число управляющих функций Ui, Um равно порядку системы {т = п), а для их вычисления используются измерения полного вектора состояния Xi, Хп- В общем случае, когда хотя бы одно из отмеченных условий не выполняется, параметрический синтез системы (определение матрицы С) можно провести из условия наилучшего в некотором смысле приближения траектории y{t) управляемой системы (7.78) к назначенной y*it) эталонной системы.

В качестве меры приближения у(0~У*(0 примем функционал

J (С) = f (у-у*) R (у-у*) dt, R = > 0. (7.80)

Будем считать, что структура весовой матрицы R в (7.80) определена с учетом структуры математической модели управляемого движения. Кроме того, принимаем, что модель движения эталонной системы (7.79) соответствует модели системы (7.78) и отражает физическое содержание управляемых переменных yi..... уг.

Иначе говоря, если, например, yi - координата положения, а У2==У\-скорость ее изменения, то у*\, у*2 имеют такой же физический смысл. ;

При оговоренных условиях следует принять Qm = Q. Поэтому минимизируемый функционал (7.80) следует записать так:

/( С) = f [х [t, С)-х* it)r RQ [х (t. С) -х* it)] dt. (7.81)

Матрица QRQ размера пХп положительно определена. Сравнивая (7.81) и (7.53), заключаем, что оба функционала совпадают, если принять QRQ=V. На этом основании делаем вывод о том, что параметры закона управления выходом системы могут быть вычислены с помощью алгоритма, построенного для задачи управления состоянием этой же системы. Все расчетные соотношения справедливы и в данном случае.

7.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ УПРАВЛЕНИЯ

Пусть модель управляемой системы задана передаточной функцией

6* 163

A{p)=p+" a)pl;B{p)= 2 bip\mn-l,

/=0 i=0

где U(p) - изображения по Лапласу управляемой пере-

менной x{t) и управляющей функции u(t). Постоянные коэффициенты а,, bj заданы. Передаточную функцию регулятора обозначим

Лр) = 1 . (р) = вх {Р)-Х (р). (7.83)

Здесь Хвх(р), Е{р) - изображения по Лапласу входного воздействия Хвх(0 и ошибки E(jt) =x{t)-x{t).

Как следует из (7.82), (7.83), структура рассматриваемой системы соответствует схеме на рис. 7.1.

Пусть передаточная функция Ф*(р) определяет желаемую динамику замкнутой системы. Рассмотрим задачу определения передаточной функции W„(p) из условия, чтобы

\ + Wy{p)W{p)

с учетом принятых обозначений из (7.84) непосредственно находим

W{p)=A(EL *(Р) . (7.85)

В(р) 1-Ф*{р)

Формула (7.85) дает формальное решение задачи, которое не всегда оказывается пригодным. Действительно, в замкнутой системе, имеющей регулятор с передаточной функцией (7.85), имеет место сокращение нулей и полюсов Wy(p) и W{p). Поэтому система не обладает свойствами грубости и является практически неработоспособной. Чтобы синтезировать систему с желаемыми динамическими свойствами, необходимо специальным образом назначать структуру передаточной функции Ф*(р) замкнутой эталонной системы.

Воспользуемся условием работоспособности, установленным для дискретных систем [21, 85]: передаточная функция Wy(p), соответствующая закону управления, не должна содержать нулей и полюсов, близких к «правым» полюсам и нулям передаточной функции W(p) объекта. Можно показать, что для непрерывных систем условие работоспособности сохраняется в такой же форме, что и для дискретных.