где полиномы G(j(o), /(jo)) относительно j© обладают таким свойством, что дробно-рациональная функция

Wip) = G(p)IRip) (4.14)

комплексной переменной р имеет нули и полюсы, расположенные в левой полуплоскости, а функция

ф i-p) = ГЧ (р) = G (-Р) IR (-Р)

- нули и полюсы, расположенные в правой полуплоскости. С учетом принятых обозначений выражение (4.13) можно записать в следующем виде:

Sx (со) = (jco) Гф (Нсо) = I Гф (j(o) I \ (4.15)

Будем считать теперь, что ф(р) есть передаточная функция некоторой динамической системы. Подадим на вход этой системы белый шум 1(0 с единичной спектральной плотностью Sg (со) = = 1. Выходной процесс этой системы будет иметь спектральную плотность

S (со) = I Гф (jco) 125 5 (со) = 1Гф (jco) Гф (-jco). (4.16)

Сравнивая (4.15) и (4.16), приходим к заключению, что S(co) = = 5ж(со). Поэтому случайный процесс x{t) заданной спектральной плотности 5х(о)) может быть получен из белого шума {t) с единичной спектральной плотностью как реакция системы с передаточной функцией ф(р), определяемой (4.14).

Систему с передаточной функцией ф(р) называют формирующим фильтром, понимая под этим, что такая система формирует случайный процесс x{t) из белого шума l(t).

Структурные схемы исходной исследуемой и эквивалентной систем приведены на рис. 4.1. Следовательно, исходная задача определения дисперсии оу равносильна задаче определения дисперсии выходной переменной системы, состоящей из последовательно соединенных двух систем с передаточными функциями ф(р) и W{p). При этом на вход такой системы поступает белый шум i,{t) с характеристиками (4.12).

Обозначим через u){t) импульсную характеристику последовательно соединенных систем с передаточной функцией

*(Р) = г.(.)Г(р,= °ЛЙ.Ш.

Тогда аналогично (4.11) можно записать выражение для корреляционной функции выходного процесса

Ку (т) = I ш (xi) dXi] W (тг) Ki (т -Tg + Ti) d Tg. 0 0

Согласно (4.12) справедливо /(5 (т-тг-ЬтО =б(т-T2+ti). С учетом этого, последнее выражение принимает вид

Ку{х)= I Ш(Т,)Ш(Т+Т1)Т1. о

Рис. 4.1

Полагая здесь ti = 0, получаем формулу для определения дисперсии

ol=\w{x)dx. (4.17)

Таким образом, чтобы вычислить искомую оценку точности системы, необходимо проинтегрировать квадрат ее импульсной характеристики в пределах от О до с».

Запишем расчетные соотношения в форме, удобной для реализации на ЭВМ. Пусть многочлены передаточной функции (4.14) имеют вид

G (Р) = 2 ei Р. R ip) = + рк

/=о i=0

Тогда дифференциальное уравнение формирующего фильтра будет вида

х) it) + 2 ri х() (О = 2g} it)- (4-18)

1=0 /=0

Этому уравнению порядка v соответствует система v уравнений первого порядка в канонических переменных

Х}, = Хх-1, Я =1,2,..., V-1;

(4.19) (4.20)

Причем процесс х определяется формулой x = goXi+giX2+ ... +g,x,.

Уравнения (4.19), (4.20) и (4.9), (4.10) описывают эквивалентную систему. Запишем их в компактной форме. Имеем для формирующего фильтра

х(0=Кх(0+еД(0, х(0=Гх(0, (4.21)

= igo gi - О ... 0) ; при этом R= (vXv), е= (vXl), g= (vXl).

(4.22)

уравнения исходной системы записываем в виде у(0-Ау(0+е„х(0, У(0=Ь-У(0.

(4.23)

-ао -fii -а.2 Ь = (Ьо Ь, ... Ь„ О

; е„ =

-а„ 1J

0) ; (4.24)

при этом А= (пхп), еп(пХ 1) и 6= (пХ 1).

Необходимая для вычисления интеграла (4.16) импульсная функция w{t) получается в результате интегрирования уравнений (4.21), (4.22) при Е(0=б(0 и нулевых начальных условиях:

x(0 = Rx(0+ev6(0, Шф(0-Гх(0; у(0 =Ау(0 +enw{t), w(t) =b-y(0;

х(0)=0, у(0)=0. (4.25)

Здесь Wф{t) - импульсная характеристика формирующего фильтра.

Структурная схема модели, отвечающая уравнениям (4.25), показана на рис. 4.2,а.

Практически вместо неоднородной системы (4.25) следует рассматривать однородную

x(0 = Rx(0, Шф(0==Гх(0;

У(0 =Ау(0 +е„Шф(0, w{t) -b-y(0;

х(0) = (0...0 1)- = е ; у(0)=0 (4.26)

tn =i()= /

Рис. 4.2

A(t]