Таким образом, параметры закона управления движением в возмущенном режиме следует определять в результате оптимизации системы (7.105). Для невозмущенного режима, характеризуемого малыми отклонениями от положения равновесия, параметры закона управления необходимо определять из условия реализации наилучших (в каком-либо смысле) динамических характеристик стохастической системы (7.106).

Для возмущенного режима задачу формулируем следующим образом: найти такие параметры Ci, Ch, при которых траектория движения системы (7.105) из точки х*(0) в начало координат в наибольшей степени приближается к назначенной траектории y{t) некоторой эталонной системы. Можно видеть, что эта задача в точности совпадает с той, которая рассмотрена ранее. Следовательно, оптимальные значения параметров Cj = Cj, при которых достигается наилучшее приближение х* {t)-y (t), могут быть найдены с помощью алгоритмов, построенных для управления вынужденным движением одномерной системы.

Обратимся теперь к задаче определения параметров закона управления для невозмущенного режима. Согласно принятой классификации в этом режиме отклонение системы от положения равновесия (начала координат) вызывается действием случайных сил

I, и. Поэтому параметры с, закона управления в данном случае следует определять из условия, что реакция системы на случайные силы была возможно слабее. Случайные движения системы (7.106) будем характеризовать дисперсиями координат состояния

dii{t) =M.[xi{t)] (i=l, п), а параметры с, найдем из условия достижения минимума du{t) в каждый момент времени.

Получим дифференциальное уравнение для матрицы вторых центральных моментов

[D(f)=ld,{t)] = Mlk{t)hit)]

Исходим из уравнений (7.106) замкнутой системы, которые запишем в виде

= Fx it) + Ье-Mt)+Ul(t), F = A-i-bc-H. (7.107)

Подставив в выражение

-jlkit)hit)i=kut)+kit)

значения производных из (7.90) и выполнив усреднение по множеству, получим:

b (О = AD (О 4- D (О А--Ьbc-HD (О -Ь D(О Н-сЬ- +

+ Ъс-Рп (Ocb-bggVs it). (7.108)

Все вычисления, связанные с получением уравнения (7.108), выполняются по методике, изложенной в гл. 4.

Возвратимся к задаче определения параметров закона управления, при которых дисперсии dn{t) координат состояния принимают минимальные значения в каждый момент времени. Такие параметры будем обозначать ci, и называть оптимальными.

Рассматриваемая задача разрешается следующим результатом [44]: для стохастической системы (7.107) минимум дисперсии выходных координат достигается в том случае, когда для каждого >0 производная t){t, с) принимает экстремальное значение в пространстве параметров Cj. В свою очередь, это имеет место, если параметры с,- удовлетворяют системе уравнений

= 0, 2, ... , k. (7.109)

На основе сформулированного положения можно получить расчетные соотношения для оптимальных параметров. Для этого необходимо найти производные диагональных элементов clu{t, с) матрицы \y{t, с) по вектору с. Опуская промежуточные вычисления, приведем окончательное уравнение для оптимального вектора параметров Са : J

D„(0H + bcP„(0 = O, (7.110)

где D„ (О - матрица вторых моментов координат состояния управляемой системы при оптимальных значениях параметров управления CjCj. Из (7.110) непосредственно находим вектор оптимальных параметров

с; (О = -(ьь)- bD„ (t) Г р;г (0. (7-111)

при которых дисперсии координат состояния минимальны.

Можно видеть, что для невозмущенного (по математическому ожиданию) режима управления параметры зависят от времени. Это обусловлено двумя обстоятельствами. Одно из них заключается в том, что интенсивность Рт) (О ошибок непостоянна. Однако даже при стационарном случайном процессе r\{t) вектор с„ = = с„ (t), поскольку матрица Da (t) вторых моментов в переходном процессе изменяется во времени. Дифференциальное уравнение для Dct (t) можно получить из общего уравнения (7.108), если подставить в него выражение для с. Выполнив такую подстановку, получим

D„ it) = AD„ (t) + D„ (t) A- RQ„ (t) - Q„ (t) +

+ mAt)R" + iiol{t), (7.112)

где приняты следующие обозначения:

R = b(bb)-b Q„(0 = D„(OHP;r{OHD„(0; R = R.

QAt) = Ql(t). (7.113)

Решение D„ (0 матричного уравнения (7.112) используется при вычислении с „(О по формуле (7.111). В качестве начального ус-

ловия D„ (0)\для уравнения (7.112) можно принимать какое-либо подходящее априорное значение, исходя из допустимого уровня шумов проектируемой системы. Уравнение для D„ (t) неоднородно, поэтому в принципе допустимо также D„ (0)=0. Вопрос этот решается с учетом особенностей и условий функционирования проектируемой системы.

Таким образом, задача определения оптимальных параметров для невозмущенного режима управления решается соотношениями (7.111), (7.112), Как уже отмечалось, в общем случае параметры закона управления зависят от времени. В частном случае, когда случайная функция (/) стационарна, т. е. 05 =const, погрешности измерения r]i{t) также представляют собой стационарные случайные функции (pt]=const), установившееся значение (00) = = const. Следовательно, согласно (7.111) оптимальное значение с(, (оо) = const. Обычно на практике такие значения параметров часто принимаются для реализации в законах управления.

УПРАВЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ

Обобщим полученные результаты на многомерные системы. В качестве модели управляемого движения примем уравнение

x{t)=Ax{t)+Bu{t)+G%{t). (7.114)

Здесь U - т-мерный вектор управляющих функций; % - г-мерный вектор случайных возмущений; остальные обозначения соответствуют ранее принятым; матрицы А, В, G заданы. Относительно вектор-(функции %{t) предполагается, что

М[(0]=0, М[(ОГ(т)] = Р(Об(-т). (7.115)

Матрица pj размера гХг характеризует интенсивность случайных воамущеиий ,и считается известной. Наконец, принимаем, что уравнение измерителя имеет вид (7.102), а погрешности измерений обладают свойствами (7.103). Как и ранее, считаем, что %{t) и г\ (it) статистически независимы.

Закон управления движением рассматриваемой системы принимаем IB виде

u = Cz(0=CHx(0+Cti(0. (7.116)

Матрица параметров C=[Cij] размера tnxk подлежит определению. Для возмущенного по математическому ожиданию х* (t) режима управления параметры Cjj определяются в результате оптимизации детерминированной системы x*{t)=Ax*{t)+bu*{t), и* (t) = СНх* (t). Для этой цели могут быть непооредотвенно использованы алгоритмы, приведенные в настоящей главе. Параметры закона управления для невоэмущенного режима будем определять из условия, чтобы дисперсии координат состояния были минимальными в каждый момент времени. Получим необходимые расчетные соотношения.