Выходная переменная

X = boXi+biX2+ ... +bmXm.

Обозначив

о 1

о О

(3.5)

е„ =

- ао -ai -02 ... -а„ 1

9= [fco fcl ... fcm О ... 0], (3.6)

систему (3.4), (3.5) запишем в компактной форме

х(О=Ах(0+е„«(0, х(0=9х(0. (3.7)

По определению переходная характеристика h{t) есть решение уравнения (3.7) при u{t) = \{t) и нулевых начальных условиях:

х(/)=Ах(0+е„1(0, h{t)=qt), х(0)=0. (3.8)

Следовательно, чтобы найти h{t) одномерной системы, модель которой задана передаточной функцией (3.1), необходимо проинтегрировать векторное дифференциальное уравнение (3.8).

Обратимся теперь к определению импульсной характеристики w(t). Так как w(t) есть реакция системы, находящейся в покое, на б-функцию, то она может быть найдена из уравнения (3.7) при u{t)=b{t) и нулевых начальных условиях:

x(0=Ax(0-fe„S(0, х(0)=0, w{t)=qt). (3.9)

Уравнение (3.9) не может быть проинтегрировано, поскольку S-функцию нельзя ввести в схему вычислений. Результат действия б-функции можно заменить изменением начальных условий для соответствующей однородной системы. Принимая a:i(0)=0, ...

Xn-i(O) =0, д:п(0) = 1, вместо неоднородного уравнения (3.9) можно рассматривать однородное:

х(/)=Ах(0, w(t)=qt), х(0) = (0 О ... О 1) = е„. (3.10)

Следовательно, чтобы найти импульсную характеристику одномерной системы, модель которой задана передаточной функцией (3.1), необходимо проинтегрировать уравнение (3.10).

Между характеристиками h{t) и xso{t) существует связь, устанавливаемая соотношениями

ш (i) = , /г (О - / ш (т) d т.

(3.11)

Поэтому обе характеристики могут быть получены одновременно в результате интегрирования одного уравнения однородного (3.10) или неоднородного (3.8). Будем исходить из первого соотношения (3.11), тогда согласно (3.8) получаем

(3.12)

ш (О = /г (О = 9Ах (t) + q&n 1(0-

Начало "Т"

Исходные данные

/Исходные данные I

Печать результатов

При ЭТОМ 9e„l(/)=0, если m<n-1, и 9e„l (О =6„ il (/), если m = n-l.

Следовательно, переходные характеристики системы могут быть получены в результате численной реализации соотношений

x(0=Ax(0-fe„l(0, х(0)=0;

h{t)=qt); w{t)=q-\x(t) +

+ qenlit). (3.13)

Переходную характеристику h{t) можно получить интегрированием w(t). в таком случае искомые характеристики определяются на основе решения однородного уравнения

х(0=Ах(0. х(0)=е„;

w(t)=qx{t); h(t)=] и){т)4х.

(3.14)

Рис. 3.1

Схема алгоритма вычисления h{t), w{t) по соотношениям (3.13) при-шедена на рис. 3.1, где Т - правая граница интервала [О, Г] интегрирования. При подготовке исходных данных, необходимых для работы алгоритма, формируется вектор q и матрица А из коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции исследуемой системы. Другие входные данные указаны в (3.13).

МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ ЗАДАНА УРАВНЕНИЕМ СОСТОЯНИИ

Пусть процессы в исследуемой одномерной системе описываются уравнением

i(0=Ax(/)+b«(0, A;(0=qx(0. (3.15)

В соответствии с определением для характеристики h(t) справедливо уравнение

x(t)=Ax(t)+b-l{t), х(0)=0; ft(0=qx(0. (3.16)

Если известна h{t), то импульсная характеристика w(t) определяется так:

by()=qTAx(0=qb-l(0. (3.17)

Сравнивая (3.16) и (3.17) с (3.13) заключаем, что переходные характеристики системы, заданной уравнением состояний, могут быть найдены с помощью алгоритма, схема которого показана на

рис. 3.1. в данном случае необходимо только вводить другие исходные данные: матрица А определяется непосредственно моделью (3.15), а вместо вектора е» следует ввести вектор Ь.

Для конкретной схемы численного интегрирования дифференциальных уравнений могут быть составлены программы, реализующие приведенные алгоритмы определения переходных характеристик.

3.2. ПЕРЕХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ. МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ

Уравнения математической модели многомерной системы примем в виде

x(0=Ax(0+Bu(0; y(0=Qx(0, (3.18)

где X - n-мерный вектор переменных состояния; и - т-мерный вектор управляющих функций; у - А-1мерный вектор выходных переменных. Матрицы А, В, Q могут быть либо постоянными, либо зависеть от времени.

Многомерная система, имеющая т входов и k выходов характеризуется mk характеристиками hij и гшц, индекс i (i=l, 2, k) указывает номер выходной переменной, а индекс ; (;=1, 2, ...

т) - номер входного воздействия. Получим расчетные соотношения для вычисления характеристик h{t) и w{t). Вначале рассмотрим стационарную систему, а затем нестационарную.

СТАЦИОНАРНАЯ МНОГО]\ЕРНАЯ СИСТЕМА

Пусть матрицы А, В, Q в (3.18) постоянны. Наряду с неоднородным уравнением движения рассмотрим однородное

х()=Ах(), х(0)=Хо. (3.19)

Решение этого уравнения:

x{t)=Ф(t)xo, (3.20)

где матричная функция Ф()=е* удовлетворяет дифференциальному уравнению

Ф(0=АФ(0, Ф(0)=1. (3.21)

Действительно, дифференцируя обе части равенства (3.20) по t и принимая во внимание (3.21), будем иметь

х(0=Ф(Охо = АФ(Охо = Ах(0.

Матричная функция Ф{t) называется фундаментальной матрицей. Она обладает следующими свойствами:

ф-(0=еА = Ф(-О,

Ф{t)=Ф{U)Ф{to), t-toh. (3.22)

Справедливость их проверяется непосредственными вычислениями. Рещение неоднородного уравнения (3.18) может быть опреде-