ретной системы (контролируемый процесс) подчиняется разностному уравнению

i:avy(«-v)-h 2 buin-v), (8.81)

V=I v=l

где у - выходная переменная; и - известное входное воздействие; а, by - постоянные числа либо известные функции времени; k - порядок уравнеиия. Пусть далее выходная переменная у измеряется со случайной ошибкой v, так что показания измерителя Z (п) = у (п) + V (п).

Будем рассматривать задачу синтеза алгоритма, в соответствии с которым по измерениям z{n) может быть вычислена оценка выходной переменной (п), удовлетворяющая следующим двум условиям:

М=[(«)-у(«)]=0, (8.82а)

Щ(У{п)~у{пт=Щ1Цп)]=01{п)== min. (8.826)

Первое условие означает, что оценка у{п) должна быть несмещенной, т. е. что при отсутствии ошибок измерения (v = 0) должно выполняться тождество у(п)у(п). Второе условие требует, чтобы дисперсия ошибок оценивания была минимальной. При синтезе алгоритма наблюдения используем идеи построения систем обработки информации с моделями контролируемых процессов

1редположим, что v - дискретный белый шум с корреляционной функцией Kin-)n)=M[v(n)v{m)]=Dbo(n-m). Тогда ясно, что условие (8.82) может быть реализовано только в том случае, если структура фильтра для математического ожидания оценки будет в точности совпадать со структурой наблюдаемой системы, т. е.

tny{n)=- 2 amy(n-v)+2bu{n~v). (8.83)

v=l v= 1

Теперь рассмотрим искомый алгоритм как некоторую дискретную управляемую систему, управляющую функцию которой выберем из условия достижения минимальной дисперсии Dg . С учетом (8.83) уравнения такой системы запишем в виде

ft . ft

у{п)= I,ay{n - v)+ Т.Ки(п-у)+у]{п),

V=I V=I

Т1(«) = р[г(«)-у*(«)], (8.84)

где переменная

у*{п)=ау(л-V) + V 6,,ы(л -V) (8.85)

v=l v=l

есть упрежденное значение оценки, соответствующее моменту времени t = n; р - параметр, подлежащий определению.

Применив операцию математического ожидания к (8.84), можно убедиться, что для рассматриваемой системы условие несме-

щенности оценки не нарушается. Поэтому для решения сформулированной задачи необходимо найти величину р, минимизирующую Dg.

В общем случае, когда фильтрация осуществляется в переходных режимах системы, дисперсия Dj будет зависеть от времени. Чтобы установить эту зависимость, найдем выражение для %{п) = = ((«)-а затем применим к нему операцию математического ожидания. Почленным вычитанием (8.81) из (8.84) найдем

(п) = (1-р) 2avl{«-v) + pt;(rt).

Следовательно,

(8.86)

2 аЦп-х)

(8.87)

+ 2pv(n)Z avl(n-v) + pyM«)-

Прежде чем выполнять дальнейшие преобразования, определим средние значения произведений (л-v)(rt-ц) и у(л)(п-v). Принимая за начало отсчета л=0, можно записать

(п-v)= 2 w{n-v-m)v(m),

(8.88)

где w - импульсная переходная характеристика, отвечающая системе (8.86). Умножим обе части (8.88) на v{n) и применим затем к полученному таким образом равенству операцию математического ожидания. Принимая во внимание, что М[у(л)у(т)] = = D6o(rt-т), и учитывая свойства бо-фуикции, получаем:

М[(п-v)w(n)]=D "z" w(n-v-m)6Q(n-m)=Dw(-v)0.

7rt=0

Далее, на основании (8.88)

МII (n-v) I (л - ц)] = D V W (п-

- V-т) 2 w{n-ii-m)8u(mmj}=-

m,=0

= D 2 w{n-v-m)w(n-Ц-m).

Отсюда получаем M{l(n-v)l{n-ix)\=

Dg(n-v), n=v,

где 7?! - корреляционная функция ошибки оценивания. 202

(8.89)

с учетом найденных равенств из (8.87) получим

D{«) = (l-p) 2 2 aaRiin-v, n-ii) + pD. (8.90)

v=l д=1

Оптимальное значение р, при котором Dj (n)=min при каждом п, является решением уравнения 5Dj {п)/др = 0 и равна

p(n)=¥(rt)[D + Y(n)]-i ,

4(rt)=2 i:a.a,Ri(n-v, п-ц), n>k. (8.91)

v=l n=l

Необходимые для вычисления («) величины могут быть найдены по импульсной характеристике w, однако более компактные алгоритмы могут быть получены, если для Ri найти рекуррентные соотношения.

Для этой цели умножим обе части равенства (8.86) на (л- - 1)..... %\п-к+\) и усредним полученные произведения:

R{n, л 1) = [1 р(п)] 2a,;?g(n-v, rt-1),

v=i (8.92)

Rlin, n-k+ 1) = [1 -p(rt)] 2aRiin - v, n-k + \), n>fe.

Найденные соотношения полностью разрешают задачу оптимальной (в принятом смысле) фильтрации в рассматриваемой системе. При этом минимальное значение дисперсии ошибок фильтрации определяется выражением

[D («)]™,n = p(n)D, (8.93)

которое получается в результате подстановки (8.91) в (8.90).

Таким образом, найденный оптимальный алгоритм является дискретной системой с переменными параметрами (р(л) =5const). Для его реализации необходимо на каждом такте решать разностное уравнение (8.90) для дисперсии, определять р(л) в соответствии с (8.91) и вычислять оценку у{п) по уравнениям (8.84), (8.85), которые в компактном виде могут быть записаны следующим образом:

у(п) = П-р{п)]( j:a,y{n-v) +

\v=l

+ у: Ьи{п-у)) + р{п)г{п), n>k. (8.94)

v=l /

Существенно при этом, что весь алгоритм, как это следует из (8.90)-(8.92), представляет собой рекуррентную процедуру. Ее реализация на цифровых элементах достигается при неизменной емкости памяти независимо от числа измерений, используемых для решения задачи фильтрации.