Уравнения замкнутой стохастической системы имеют вид - = Ax{0+Bu(0+G(0.

u(0 = CHxfO+CTi{0. (7.117)

По методике, (изложенной в гл. 4, можно найти дифференциальное уравнение для матрицы T>{t) вторых центральных моментов вектора состояния

D (О = AD (О + D (О + BCHD {t) +

+ D (О С В -i- ВСР„ (О С В + ОРб {t) G\ (7.118)

Оптимальное значение С = С„ матрицы параметров закона управления удовлетворяет условиям

[ditit, C)] = min[4( С)], i = l, 2, .... п.

dt с

Чтобы найтй (Необходимые расчетные соотношения для С„, нужно выполнить дифференцирование йц по сц. Приведем окончательные вьираженяя.

Уравнение для матрицы С„ оштималуных параметров

ВС„Рч(0+ВЛОН = 0, (7.119)

Здесь матрица D„{t) определяется из дифференциального уравнения (7.118) при оптимальном значении

С„ (О = - (В" В)- В D„ (О Р- (О- (7.120)

Подставив это значение в (7.118), получим

Da (О = AD„{t)+D, it) А-RQ (t) -Q„ (t) R" +

+ R%{t)tC+OPi{t)0\ (7.121)

R = В (B B)- B; Q„ (0 = D„ (t) P (t) HD„ (0;

R=R; Q„(0 = Qa(0- (7-122)

Уравнение (7.121) формально совпадает с уравнением (7.112) для одномерной системы. Естественно, что (7.112) вытекает из (7.121), если принять В = Ь, G = g, а Pi(t) заменить на ai{t).

Все комментарии, которые были сделаны для одномерного случая, остаются справедливыми в рассматриваемой задаче. Поэтому нет необходимости обсуждать свойства полученного закона управления для многомерной системы.

Реализация законов управления с переменными параметрами в зависимости от режимов функционирования управляемых объектов (возмущенный и невозмущенный) позволяет придать системе адаптивные свойства. Осуществление алгоритмов такого типа возможно только в том случае, когда в процессе функционирования

системы ооу1Цествляется распозна)вание режимов управления. Для решения такой\задачи могут быть предложены различные варианты алгоритмов >1 критериев в зависимости от особенностей и назначения проектируемой системы.

ГЛАВА 8

НАБЛЮДЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Рассматривается задача оценивия вектора состояния линейной системы, которая формулируется следующим образом: необходимо иайти оценку, являющуюся линейной функцией от результатов наблюдений в прошлом и минимизирующую значение среднеквадратическоа ошибки оценивания. В общем случае эта задача называется линейным оценийанием с минимальной средяеквадрати-ческой ошибкой или линейной фильтрацией. Рассмотрена также методика построения адаптивных алгоритмов наблюдения (фильтрации) линейных систем, параметры которых могут изменяться в процессе функционирования. Кроме того, здесь синтезируются алгоритмы наблюдения нелинейных систем. Изложение иллюстрируется примером построения алгоритмов и результатами математического моделирования.

8.1. ОПТИМАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР КАЛМАНА-БЬЮСИ

Применение методов аналитической теории оптимальных регуляторов для синтеза систем управления предполагает возможность точного измерения всех переменных состояния и полную априорную информацию о параметрах объекта. Существует много важных задач управления, в которых детерминированные методы неприменимы, так как необходимые для управления объектом фазовые координаты ,не измеряются или измеряются с существенными случайными ошибками, а движение объекта управления подвержено случайным воздействиям. В таких ситуациях управление определяется на основе результатов оценивания состояния системы, которое имеет лишь статистическую связь с данными наблюдений.

Рассмотрим задачу синтеза линейного алгоритма оценивания (фильтрации), который формирует несмещенную оценку вектора состояния системы с минимальной диопероией.

Пусть движение системы описывается векторным дифференциальным уравнением

X(0=A(0x(04-B(0u(0-bC(0w(0. (8.1)

Здесь х()-л-мерный вектор состояния системы; u{t)-г-мерный вектор управления; vf{t) - -мерный вектор случайных воздействий; А(), В() и C{t) - матрицы размера пХп, пХг, nxk соответственно.

Вектор измеряемых выходных координат этой системы, который доступен наблюде1нию и обработке, определяется соотношением

y{0 = H(0x{0 4-v(0, (8.2)

где у(0-тнмерный вектор; Н(О - (гагХft)-матрица, а v{t) - тмерный вектор случайных помех, сопровождающих измерения. Предполагается, что система (8.1), (8.2) при w(0=0 и v{t)=0 наблюдаема. Воздействие w{t) и помеху v{t) будем считать гаус-соБокими случайными процессами типа белого шума с нулевыми математическими ожиданиями:

M[w(0]=0; M[v(0]=0, (8.3)

их корреляционные матрицы

cov[w(О, w (т) ] =M[w(О(г) ] = q{t)6{t-x);

cov[v(0, v(t)]=M[v(0vMT)] = R(06(i-t), (8.4)

где 6(0 -дельта-фуякция Дирака; Q.{t) -симметрическая неотрицательно-определенная (feXfe)-матрица интенсивности белого шума vi{t); R{t)-симметрическая положительно-определенная (тХОТ)-матрица интенсивности белого шума v{t).

Предположим, что начальное состояние системы х(о) -ft-мер-ный гауооовский случайный вектор с известным математическим ожиданием

М[х(о)]= (8.5)

и корреляционной матрицей oov[x(io). х(о)]=М{[х(о)-

-Хо][х(о)-хо]} = Р(о, to). (8.6)

Для этой матрицы при совпадающих значениях аргументов будем использовать обозначение

P(fo, М=Р(М = Ро. (8.7)

Кроме того, шредположим, что начальное состояние системы (8.1), случайные воздействия я погрешности измерений при всех fto взаимно ле «оррелированы:

COV[x (о), w (О ] = М{[х(to) (О } = О,

COV[x(fo), v(О]=М{[х(о)v4t)} =0;

cov[w(0, v(t)]=M[w(OvMt)]=0. (8.8)

Искомой является линейная несмещенная оценка вектора xit), построенная «а основе результатов наблюдений у(т), (от).

Обозначим эту оценку через z{t)=x{t) и допустим, что она может быть получена на выходе фильтра, описываемого вектор.ным дифференциальным уравнением

i (О = F (О z (О -Ь G it) u (О -Ь К (О У (О • (8.9)