Решив уравнение (5.8), получим оптимальное управление (5.3). Матрица коэффициентов передачи оптимального регулятора:

0,025 1,5 -2,2 -2,7 0,01 -0,12 0,1 -0,034

0,54-10-3 -0,1-10-1 0,8-10-* 0.35-10-3

После выполнения подпрограмм DOMIN и KORN получим матрицы коэффициентов чувствительности, рассчитанные по формулам (5.17) и (5.18):

1,3 0,7

1,5 0,39 1 1 1

0,1 0,1-10-2 0,7-10-* 0,62-10-2 0,4-10-1 108 0,31 10" 0,8 1

0,6.10-1 0,2-10-3 0,8-10-* 0,1-10-3 0,4-10-1

0,2 0,72

Анали;з .матриц М и N показывает, что обратные связи с коэффициентами передачи 22, ds, du, d оказывают слабое влияние «а динамические свойства системы, поэтому ими можно пренебречь. В результате получим субоптимальиый регулятор с коэффициентами передачи

0,025 1,5 - 2,2 - 2,7 0,54-10-з -0,1-10-1 0,01 О О 0 0 0,35-10-3

Реализовать его значительно проще, чем оптимальный.

5.5. МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРИ КВАДРАТИЧНОМ КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА

Основные трудности, которые возникают при синтезе систем управления по квадратичному критерию качества, связаны с выбором значений элементов весовых матриц, при которых синтезированная система обладала бы требуемыми динамическими свойствами. К сожалению, рассчитывая оптимальный регулятор для стационарного объекта управления, мы не можем заранее предсказать значения корней характеристического уравнения замкнутой системы, которые определяют ее динамические свойства. Поэтому одна из главных задач синтеза - установить явные зависимости между значениями корней характеристического уравнения оптимальной системы и элементов весовых матриц критерия качества. Рассмотрим эти вопросы [52].

Пусть стационарный объект управления описывается векторным дифференциальным уравнением

x = Ax+Bu, х(о) =Хо,

(5.30)

где X-/г-мерный вектор фазовых координат; и-г-мерный вектор управления; А, В - постоянные матрицы.

Требуется найти вектор управления и, который обеспечивает минимум квадратичного критерия качества.

У(и)= (хтфх-ьи¥и)Л.

(5.31)

Решим поставленную задачу на условный экстремум методом классического вариационного исчисления. Для этого составим вспомогательный функционал

/(и)= ] [(хФх+иЧи)-2Я,т(х-Ах-Bu)]d/, (5.32)

где %-п-мерный вектор множителей Лагранжа.

Решение вариационной задачи минимизации функционала (5.32) для системы (5.30) дает следующую систему уравнений:

x = Ax + Bu,

Х = -фх-ЛЯ (5.33) и = -¥-ВХ.

Подставив значение и в первое уравнение системы (5.33), получим:

х = Ах-ВЧ-ВХ,

Х=-Фх-АЯ. (5.34)

Уравнение (5.34) состоит из системы взаимосвязанных линейных дифференциальных уравнений относительно х и к. Поэтому х и X должны быть связаны линейным преобразованием.

Для получения уравнения оптимального управления решим систему (5.34), полагая

Х=Кх, (5.35)

где К -матрица связи размера пХп, пока неизвестная. Умножая слева первое равенство в системе (5.34) на матрицу К и вычитая из него второе равенство этой системы, окончательно получим:

КА + АК-КВЧ-1ВК+Ф=0. (5.36)

Уравнение (5.36) является алгебраическим матричным уравнением Риккати, в которое вырождается дифференциальное уравнение (5.4) в установившемся режиме при /к-оо.

Подставив выражение (5.35) в последнее уравнение системы (5.33), получим искомое уравнение оптимального управления

и = -¥-1ВКх =-Dx, D = ¥-iBK. (5.37)

Систему (5.34) назовем обобщенной. Матрица этой системы

i -В¥-1 В

(5.38)

Ас =

Вычислив вектор управления и по формуле (5.37), можно описать динамику оптимальной системы однородным векторным дифференциальным уравнением вида х= (А-ВЧ"~ВК)х. Матрица параметров замкнутой оптимальной системы будет вида

Ао = А-ВЧ-ВК, (5.39)

а ее характеристическое уравнение вида

Л (S) = I Ао-si I = I А-ВЧ-ВК-si I. (5.40)

Характеристическое уравнение исходной системы (5.30):

A(s) = A-sl. (5.41) Очевидно, что имеет место равенство А-sl = (-l)"A + sI =

= (-1)" A-(-sI) I = ( 1)ид( 5). (5.42)

Характеристическое уравнение обобщенной системы (5.34) с матрицей (5.38) определяется выражением Ас-sl=0. Поскольку справедливы равенства

А-si :-ВЧ-в

A,-sI=det

. -Ф ; -А -si

= det

KiA -КВЧ-» B + sI А-BF- ВК-sI:B>F-> В

I ; О

(5.43)

получим

I Ас-sl = (-1)" det [А--KB4-B- + sl] det [A--ВЧ-iBK-sl] = (-l)"A(s)A(-s)= П is-

-a<)(s+aO. (5.44)

Отсюда заключаем, что 2n собственных значений матрицы Ас состоят из собственных значений матрицы оптимальной системы (5.39) и их зеркального отображения относительно мнимой оси s-плоскости.

Запищем выражение (5.43) в другой форме:

"А-si; О "

........X

ф , I

- (А-sI)->B>F- В

О 1-(Л + sI) -Ф(А-sI)->B4r- BJ

С учетом равенства (5.42)

Ас-sl =det [А-si] det [-(A + sI) -

-Ф (A-si)ВЧ-В] = (- 1) "Д (s) A (-s) det [I +

-t-(Aт+sI)-Ф(A-«О-ВЧ-В]. (5.46)

Выражение (5.46) представляет собой произведение характеристического многочлена оптимальной системы и соответствующего

JAc- s I = det

(5.45)