Пример. Характеристический полином замкнутой системы равен

р*+17р>+105р=+400р+500.

Корни этого полинома, полученные с помощью подпрограммы ROOTP, равны 2j=-2; 22=-2,5+j4,33; 2з=-2,5-J4.33; 24=10.

10.3, ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

При исследовании автоматических систем важно знать, как влияет изменение определенного параметра на жачество системы. Для оценки изменения характеристик и критериев качества под влиянием изменения параметров системы используются функции чувствительности. Пусть У=У(а) некоторая характеристика или критерий качества исследуемой системы. Функция (коэффициент) чувствительности этой характеристики (критерия качества) к параметру а определяется формулой

Ye =дУ/да.

Характеристика линейной системы может быть представлена в виде функционала, определяемого передаточными функциями системы:

Y=F{Wi{p), Wk{p)). (10.11)

Передаточные функции, входящие в (10.11), зависят от параметра а. Продифференцировав выражение (10.11) по а, получим функцию чувствительности в виде

у„=2:-- (10.12)

" ,tidWi(p) да

Здесь 5У/(5И7г(р)-некоторые операторы. Из выражения (10.12) видно, что для расчета функции чувствительности Ya необходимо получить функции чувствительности передаточных функций, входящих в функционал (10.11).

ФУНКЦИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть известна зависимость каждого коэффициента передаточной функции W(p) от параметра а:

W (р) = Р) = Ьп(«)р"+...+Ь«(ос) А{р) fl„(a)p"-f ...-f ао(а)*

Тогда функция чувствительности передаточной функции ш /„л- iP) - BaiP)A(P)-B{p)A(p)

Wa(P) .

Приведенная формула не всегда удобна: для ее использования необходимо определить производные по параметру а каждого коэффициента передаточной функции. Более простой способ заключается в выделении передаточной функции Ф(р) таким об-

"I

.разом, чтобы параметр а являлся ~аф(Р

одним из коэффициентов \ "I

а остальная часть системы, реализующей передаточную функцию не зависела бы от а. Модель такой системы представлена на рис. 10.4.

Найдем функцию чувствительности передаточной функции W{p) = Wn{p). Для этого дадим

параметру а приращение Аа. В результате передаточная функция Ф(р) получит приращение АФ(р) и появится дополнительный сигнал на выходе

Рис. 10.4

(р) ДФ(р)Г21 (р)

1-ДФ(р)Гзд(р) Отсюда получим

Да-*0 1-ДФ(р)Га2(р)

В простейщем случае Ф(р)=а, тогда (Р) = i2(P)2i(p). В общем случае

(10.13)

и параметр а является одним из коэффициентов числителя или знаменателя Ф(р). Функции чувствительности передаточной функции (10.13) к ее коэффициентам:

ip)=p4a(p), Фа, (р)=-Ь{р)рЧаЦр).

(10.14)

Функцию чувствительности передаточной функции W(p) получим в виде

Wa {р)=В{р)/А{р),

где Л(р), 5(р)-полиномы. Если передаточные функции заданы в виде

Wij{p)=Bij(p)/A{p),

где А (р) - характеристический полином системы, то полиномы числителя и знаменателя функции чувствительности получим в виде

В{р)=Вг2{р)Фа (P)S2,(P); А{р)=АЦр). где Фц (р) определяется одной из формул (10.14).

ФУНКЦИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Продифференцировав выражение In W(j(u) =1п +j>((o)

по параметру а, получим

Из этих выражений получим функции чувствительности частотных характеристик

1 О «>)а = \W (j tu) Re (Г„ (j tu)/r fj to));

L„ (to) = 20 Ig e. Re (H7„ (j сй)/Г (j to)) = 8.86 Re (Г„ (j сй)/Г (j со));

Ф„(сй) = 1т(Ц7„0сй)/а»).

ФУНКЦИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ПЕРЕХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Выходная переменная линейной системы определяется операторным выражением

y{t) = W{p)u(t).-

Продифференцировав это выражение по а, получим

Таким образом, функция чувствительности выходной переменной может быть получена путем пропускания входного сигнала u{t) через линейную систему, передаточная функция которой равна функции чувствительности исходной передаточной функции по заданному параметру.

ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ КОРНЕЙ

Пусть А(р) - характеристический полином, а z - один из корней этого полинома. Продифференцировав уравнение А (г) =0 по параметру а, (получим:

Аа{г) + А 2)г„ = 0. (10.15)

Здесь Л а (р)=дА{р)/да; А(р) =дА(р)/др.

Из (10.15) получаем выражение для чувствительности корня

Za=-Aa{z)lA{z).

ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ДИСПЕРСИИ ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Установившееся значение дисперсии выходной переменной при воздействии на вход стационарного случайного процесса определяется формулой

D = - fV(p)F(- dp. (10.16)

Здесь W(p) - передаточная функция, равная произведению пе-