• На движениях системы (8.53) можно измерять координаты у* (v=l, 2, тп) некоторого функционально связанного с X* вектора

у*(/) = Нх*(0, (8-54)

где Н - известная (тХ л)-матрица, определяемая конструкцией измерителя. Будем считать, что измерения осуществляются со случайными ошибками Sv> так что показания измерителя

z(0 = Hx*(0+(0- (8-55)

Предполагается, что M[gv(0]=0. а корреляционная матрица Р(0=М[(01(0] известна.

При сделанных предположениях требуется найти разрешающие операции, вычисляющие такие оценки л; координат х* , математические ожидания которых удовлетворяли бы равенствам

M[x,(0-<(m-0, v=l,2, ... , • (8.56)

а их случайные составляющие были бы в некотором смысле наименьшими.

Как и в [41], совокупность искомых разрешающих операций будем называть алгоритмом наблюдения, рассматривая его как некоторую динамическую систему. Далее будем считать, что измерения осуществляются дискретно в равноотстоящие моменты времени tq = qT {q = 0, 1, ...), Т - интервал между измерениями. В соответствии с этим будем пользоваться в дальнейшем вместо (8.53) разностным уравнением

х*(9-Ы)=Ф(Г)х*(<7)> (8.57)

записанным в относительном времени q = tqT~K Это уравнение вытекает из решения (8.53) в форме Коши х*() =Ф()х*(0), где Ф{t)-фундаментальная матрица, отвечающая (8.53).

Равенства (8.56) представляют собой условия несмещенности оценок и определяют структуру алгоритма наблюдения как динамической системы. При этом достижение минимальных случайных ошибок оценивания связано с выбором параметров алгоритма. Определим структуру алгоритма.

СТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ АЛГОРИТМА НАБЛЮДЕНИЯ

При решении этой задачи будем истюльзовать принципы построения экстремальных систем обработки информации, теория которых развита в [40]. В соответствии с этими принципами основу алгоритма наблюдения должна составлять модель изучаемого процесса. Обозначив через х вектор фазовых координат модели, ее уравнение на основании (8.57) запишем в виде

xiq+l)=Ф{T)x{q). (8.58)

В качестве меры близости математических ожиданий х к х* будем рассматривать

Q = My(<7+l)-z(9 + l)l=, (8.59)

7* 195

где v2 = v-v;

у((7+1)=Нх((7+1). (8.60)

Представим оценки в виде суммы их математических ожиданий Xv и соответствующих центрированных случайных составляю-

щих х, т. е. х=Хд,-ЬХу. В этом случае выражение (8.60) на основании! (8.58) можно записать в виде

у((7+1) = НФ(х((7)+х((7)), Ф.= Ф{Т). (8.61)

Принимая во внимание (8.55) и (8.61), после выполнения операции математического ожидания в (8.59) получаем

QIX {q)\ Gx (с/)-Нх*(q + 1)Р + т( + 1) (< + 1) +

+ x-{q)G-Gkiq), (8.62)

где 0 = НФ; черта означает усреднение по множеству. При вычис-

лениях учтено, что M[xv {q)Xj{q+\)]=0.

Предположим теперь, что в произвольный момент времени tq = ~qT на выходе модели имеет место оценка x{q) ив соответствии с (8.58) вычисляется ее значение для tq+\. В общем случае математическое ожидание x{q) отлично от x*{q), следствием чего является наличие динамической составляющей ошибки \{q+\) = <=x{q+\)-x*{q + \). Для уменьшения \{q+\) при каждом q вместо x{q) в уравнении

х(<7+1)=Ф(Г)х(<7), 9 = 0, 1..... (8.63)

вытекающем из (8.58), будем использовать уточненное значение математического ожидания оценки, которое может быть получено в результате осуществления одного шага движения к экстремуму (минимуму) Q[x(9)] по x{q). Обозначив это уточненное значение через xi(9), определим его в соответствии с дискретным экстремальным законом

x{q) = x{q)+A

аО[х(<?)]

Зх(?)

(8.64)

где Л-(«Хп)-матрица параметров >,vn> относительно которых предполагается по£а, что они обеспечивают выполнение неравенства Q[xi(9)] <Q[x(9)] при любом q = Q, 1, .... На основании К8.62) имеем

-li =2[Gx(<7)-Hx*(-f 1)Г0. ах (9)

Следовательно, выражение (8.64) может быть записано в виде х,((7) =x{q) +2AG-[Gx((7)-y* (<7+1)]. (8.65)

Подстановка Xi{q) в (8.63) вместо x(q) приводит к алгоритму наблюдения

х((7-Ы)=Ф(Г)х((7)+2Ф(Г)ЛО-[Ох((7)-у*((7 + 1)], (8.66)

записанному для математических ожиданий оценок и измеряемых леременных. В действительности величины Ху и у*, неизвестны. Заменив их соответственно оценками Ху и выходными переменными г/з измерителя, получим окончательный вид искомого алгоритма наблюдения

x{q+\)=Ф(T)x(q)+2Ф(T)AG[Gx(q)-z(q+l)]. (8.67)

Это уравнение является рекуррентным и позволяет производить оценивание координат системы без накопления результатов измерений в памяти ЭВМ. Получение уравнения (8.67) исчерпывает задачу структурного синтеза алгоритма наблюдения. Выбор параметров этого алгоритма следует производить в зависимости от режимов его функционирования.

В дальнейшем будем различать возмущенный (по математическому ожиданию) режим наблюдения, когда хфх*, и невозмущенный, когда X-х* = 0. Возмущенные режимы наблюдения можно характеризовать практически большими (по сравнению с уровнем случайных ошибок) отклонениями математических ожиданий оценок от истинных значений координат. При обратном соотношении этих ошибок режим наблюдения естественно считать невозмущенным (практически).

В конкретных случаях могут быть приняты различные критерии, в соответствии с которыми в процессе решения задачи можно с определенной достоверностью различать виды режимов и соответствующим образом строить вычислительную процедуру. Один из возможных критериев обсуждается ниже.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ АЛГОРИТМА НАБЛЮДЕНИЯ ДЛЯ ВОЗМУЩЕННОГО РЕЖИМА

Возмущенный режим наблюдения может быть обусловлен как неточным заданием начальных значений оценок в (8.67), так и действием внешних неконтролируемых воздействий, вызывающих значительные изменения координат изучаемого процесса за короткие промежутки времени. В обоих случаях алгоритм должен по возможности быстро устранять существенные отклонения - х*у„ = ы. Желаемые динамические характеристики этого процесса могут быть получены соответствующим выбором параметров

в (8.67). Очевидно, что вместо >.уц можно непосредственно назначать /(.ур, - элементы матрицы К = 2ФЛФН размера пХт в уравнении

x{q+l)=Ф{T)x{q)+[Gx{q)-z{q+\)], (8.68)

которое вытекает из (8.67) с учетом принятого обозначения.