тривается управление выходом системы в свободном движении.

На практике часто возникают задачи синтеза систем, обладающих высокой точностью отработки входных задающих воздействий Хвх определенного вида, например постоянных, линейно изменяющихся во времени. В таких случаях синтезируемый закон управления должен обеспечивать выполнение условия

lim (Xex(0-Jf(0)=0. (7.7i

Если Хвх (t) - полином относительно времени, то условие (7.7) в терминах классической теории автоматического регулирования означает, что проектируемая система должна обладать астатиз-мом определенного порядка. Необходимо при этом, чтобы процесс отработки x{t)XBx{t) удовлетворял заданным требованиям. Такую задачу будем называть задачей управления выходом системы в вынужденном движении. Сформулируем ее для случая, когда входное воздействие постоянно: Хвх.(0 =J=const. Систему сравнения зададим уравнениями

y{t)=Fy{t)+px. у it) =q\y it). (7.8)

Для модели (7.8) выполняется предельное соотношение yit)x при too. Требуется найти структуру и параметры закона управления

«=ц(х, X, с), (7.9);

при котором процесс xit)-x в замкнутой системе (7.1), (7.9) протекает таким образом, что функционал (7.6) принимает минимальное значение. В этой задаче речь идет об управлении выходом системы в вынужденном движении. В данном случае синтез должен быть выполнен, исходя из условия, чтобы система обладала астатизмом первого порядка (=const), а переходный процесс xit)x был наилучшим в смысле минимума /(с).

7.3. УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ

УПРАВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЕМ СИСТЕМЫ

Определение оптимальных параметров c*k закона управления (7.4) выполняется из условия приближения xit)yit) в результате минимизации функционала (7.5) по с. Построим алгоритм параметрической оптимизации синтезируемой системы. Для этой цели нелинейную задачу отыскания минимума /(с) по с заменим последовательным решением соответствующих линейных задач минимизации приближенных функционалов, записанных для приращений искомых параметров. Предварительно отметим следующее важное обстоятельство.

Задача приближения xit)yit) будет корректной только в том случае, если математические модели управляемой и эталонной систем будут иметь тождественные структуры. Это означает, что уравнения движения систем должны быть записаны в какой-

либо единой канонической форме. Наиболее удобной формой является система уравнений в фазовых координатах.

Уравнение эталонной системы (7.3) в фазовых координатах:

0 1 О ... О

0 0 1 ... О

?м(0-

(7.10)

-go -gl -g2 - -gn-l

Коэффициенты g*i>0 и таковы, что g„(i)-», а динамика системы (7.10) соответствует требованиям проектируемой системы. В такой же форме необходимо записать уравнение управляемой

системы. Преобразование уравнения (7.1 выполнить по методике, изложенной в [2 цедуре канонических преобразований [43], определив

Здесь матрица

~gl Si - gn-l gn

gi gs - gn 0

к виду (7.10) можно Будем следовать про-

(7.11)

K = S

gn-l gn

(7.12)

. О О О ... О О

При этом S=[b АЬ ; ... А"-1Ь] - матрица управляемости, а gi,... .... gn - коэффициенты характеристического уравнения det [А- -pЦ=gnP+gn-lp-+...+glp+go, могут быть найдены в результате расчета матрицы Фробениуса

0 О О ... О -go

1 О О ... О -g,

S-iAS =

1 -gn-l.

(7.13)

В результате замены переменных согласно (7.11) уравнение управляемой системы приводится к канонической форме в фазовых координатах

t(0 = Gg(0--e„u(0, е-„=(0 0...0 1);

(7.14)

-1

AS =

= фт.

(7.15)

L-go -gl -gi - -gn-l-

После выполнения преобразований уравнений моделей можно решать задачу определения параметров Ci,..., с, из условия при-

ближения 5(0->?м(0- В соответствии с (7.4) и (7.11) закон управления будет

M(g)=c-HKS(0=cHSW. Н = НК. (7.16)

Минимизируемый функционал

J{c)= lu(t,c)-Mvdt. (7.17)

Теперь получим яавное приближенное выражение для / от искомых параметров. Пусть

с=с+б, с= (CiCz ... с%)

где с« - некоторое известное значение; 6* - малое приращение. Разложим {t, с) =g( с*+б*) в ряд по степеням 6*:

lit, c)=Ut, сО+Т( с)Ь+..., (7.18)

gS(c)l

Ч(с) = [Ч,Лс)] =

- (пХ г)-матрица чувствительности движения замкнутой системы (7.14), (7.16) к изменению параметров Cft. Вектор-функция iit, с*) есть решение дифференциального уравнения

g(c«) = (G-be„c"H)g(Ac),

S(0, c«) = K-x(0)=go. (7.19)

Применяя известные правила [71], для матрицы получаем следующее уравнение:

Wit, c) = (G+e„c"H)4(, c)+enl4t, с)И\

WiO, с«)=0. (7.20)

Ограничимся в (7.18) линейными членами. Тогда из (7.17) будем иметь

J 6» ]«5lV(cOб»-A(c011?d, о

А (ЛсО = 5м(0-?(сП- (7.21)

Таким образом, задача приближения траектории движения lit, с) синтезируемой системы к назначенной Е„() сводится к определению значения 6*, минимизирующего функционал (7.21) при заданном с В принципе 6* может быть найдена из линейного уравнения d/(6)/d6=0, которое в раскрытой форме имеет вид

J У- it, с») V [У it, с») 6 - А it, с»)] dt = 0. (7.22)