Главная страница  Программы проектирования 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [ 45 ] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]

Реализация этого варианта алгоритма осуществляется по схеме на рис. 6.2.

УПРАВЛЕНИЕ ВЫХОДОМ СИСТЕМЫ На движениях системы

x(0=Ax(0+Bu(0, y(0=Qx(0. u(x)=Cy(0=CQx(0,

(6.42)

задан функционал

J(u) = ] [у- (t) Ry (t) + (0 Ги (t)] dt, (6.43>

где R, Г - неотрицательно- и положительно-определенные матрицы. Требуется найти такие параметры [c,j]=C, при которых достигается минимальное значение / (и).

В данном случае минимизируемый функционал записан для выходных переменных yi(t), г/т (О- На этом основании рассмат-

)иваемую задачу называют задачей управления выходом системы.

Токажем, что искомые значения параметров c,j могут быть вычислены с помощью алгоритма, который синтезирован выще применительно к задаче управления состоянием системы.

Согласно принятой модели (6.42) управляемого движения

y4t)Ry(t)=x4t)Q RQx(0.

Подставляя это выражение в (6.43), будем иметь

/(и)= \ [\{t)QRQx{t) + vi4t)Tviit)]dt. (6.44)

При оговоренных условиях матрица QRQ неотрицательно-определенная. Сравнивая (6.43) и (6.44), заключаем, что оба функционала совпадают, если в (6.43) принять QRQ = V. Следовательно, параметры закона управления выходом системы могут быть вычислены с помощью алгоритма, построенного для определения параметров закона управления ее состоянием. Этим положением исчерпывается задача минимизации функционала (6.43). Все расчетные соотнощения, полученные ранее, справедливы и в данном случае.

6.5. ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ ПО КРИТЕРИЮ ОБОБЩЕННОЙ РАБОТЫ (ТЕОРИЯ А. А. КРАСОВСКОГО)

Теория аналитического конструирования оптимальных регуляторов Летова - Калмана приводит к необходимости решения нелинейного дифференциального уравнения в частных производных относительно функции многих переменных. Даже в случае линейных моделей управляемых процессов эта задача представляет значительные трудности, если минимизируемый функционал не является квадратичным.



Положение существенно меняется при оптимизации систем по критерию обобщенной работы. В данном случае построение оптимальных законов управления сводится к решению линейного уравнения в частных производных. Причем эта важная особенность сохраняется и для нелинейных объектов. Рассмотрим возможности алгоритмизации процесса конструирования оптимальных законов управления для случая, когда процедура синтеза основана на использовании модели прогнозирования движения.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА

Пусть управляемый процесс описывается нелинейными дифференциальными уравнениями

Xi Л- fi (х, О = Е btj (х, t) uj, i = 1,2.....п, (6.45)

где fi, bij - известные функции, непрерывные по всем аргументам; х= (xi ...Хп) - вектор состояния; Ui, Um - управляющие функции. На движениях системы (6.45) задан функционал

У(и) = Уз(х(д)+ ]Q[x,t)dt +

+ V i 2 -4- Л. (6.46)

где Q(x, t), 13 (x) - положительно-определенные функции; k{> >0 - заданные коэффициенты. При оговоренных условиях управляющая функция

= S ь.(х,0- (6.47)

является оптимальной в смысле минимума функционала (6.46). При этом функция V(x, t) представляет собой решение дифференциального уравнения

--2;/.(x.0=-Q(x,0 (6.48)

при граничном условии

V(x, .t)Vs{xit2)). (6.49)

Сформулированное положение составляет содержание основной теоремы А. Красовского [37].

Как следует из теоремы, для оптимального построения управления (6.47) необходимо решить уравнение (6.48) в частных производных относительно функции V(x, t). Это уравнение линейно. Различные схемы его решения можно найти в [39]. Мы рассмотрим алгоритмическую процедуру, которая позволяет численно в процессе управления определить управляющие функции Uj согласно формуле (6.47).



АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ С ПРОГНОЗИРУЮЩЕЙ МОДЕЛЬЮ

Наиболее эффективный метод реализации алгоритма управления, структура которого определяется основной теоремой, основан на применении модели для прогнозирования управляемого процесса на весь интервал ti-1\ оптимизации системы. Идея этого метода состоит в следующем [39].

На основании уравнения (6.48) заключаем, что на траекториях свободного движения устойчивой системы

* ii+/i(x, 0=0. i=I, 2..... п, (6.50)

полная производная функции V(x, t) по времени равна

i=-Q(x,0. (6.51)

Интегрируя обе части равенства (6.51) в пределах от ti до ti будем иметь

У (X (t,))-V(X {t)) - - J Q(X, t)dt. (6.52f

Для Унфункции должно выполняться условие (6.49). Учитывая это и принимая за начало интервала оптимизации ti текущий момент времени t, равенство (6.52) представим в виде

У (X* (0) = (X* (У) + j Q (х*. О dt (6.53)

Вектор состояния х*=,{х*\ ...х*пУ определяется уравнение.м

i*(0+f.(x*, 0=0, (6.54)

структура и параметры которого в точности соответствуют (6.50).

Таким образом, приходим к следующему заключению: функция V, по которой строится управляющая функция (6.47), может быть найдена (вычислена) при данном значении t, если известны переменные состояния Xi{t) на интервале оптимизации \t, ti]. Следовательно, вычисляя F-функцию при варьированных значениях Xi + bi, можно найти (приближенные значения частных производных dVldxi, используемых в (6.47) для построения управляющих функций. Для вычисления V-функций необходимо знать х,- на интервале оптимизации. Для вычисления Xi можно использовать модель свободного движения (6.54), принимая начальные условия x*i{t) =Xi(t) и выполняя интегрирование в ускоренном масштабе времени. Процедура вычислений организуется следующим образом.

Интервал оптимизации [ti, ti] делится на достаточно короткие отрезки Тц ; в течение каждого из таких подынтервалов осуществляется весь процесс вычисления частных производных dV/dxi и управляющих функций Uj по формуле (6.47). Понятно, что вычисление производных требует п+1 раз интегрировать уравнение (6.54) на каждом интервале Т. Масштаб времени для прогнозирующей




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [ 45 ] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100]

0.018