лено, если известна фундаментальная матрица Ф(0- Оно имеет вид

x{t) = Ф(t)x{0) + ] Ф(-т)Ви(т)Л. (3.23)

С учетом (3.23) вектор выходных переменных системы (3.18) будет равен

y(0=QФ()xo-fQ J Ф(-т)В«(т)т. (3.24)

Если в начальный момент времени = 0 система находилась в состоянии покоя, то согласно (3.24) получим

у (/) = Q / Ф (-т) Ви (т) dx. (3.25)

•Формула (3.25) позволяет получить переходные характеристики изучаемой системы.

Импульсные характеристики Wij{t) по каждому выходу i есть реакции системы, находившейся в покое, на б-функции, приложенные последовательно к каждому входу /. Следовательно, принимая в (3.25) и(т) = (б(т) ...б(т)) получаем:

W(0 = K-i(0]=Q*(OB. (3.26)

Переходные характеристики hij(t) по каждому выходу i есть реакции системы, находившейся в покое, на единичные функции 1(/), приложенные последовательно к каждому входу /. Поэтому, принимая в (3.25) и(т) = (1(т) ... l(т)) получаем:

H(0 = [%(0]=QG(OB, G(0= Ф(т)т. (3.27)

Так как для многомерной системы справедливы соотношения

W (t) . Н (О = j W (т) d т, (3.28)

то матрица H(t) может быть получена в результате интегрирования W{t).

Таким образом, алгоритм определения переходных характеристик многомерной стационарной системы будет следующим:

1. Вычисление фундаментальной матрицы Ф() по уравнению (3.19).

2. Вычисление матрицы W() по формуле (3.26).

3. Вычисление матрицы Н() интегрированием W(). Рассмотрим теперь случай, когда параметры исследуемой системы зависят от времени.

НЕСТАЦИОНАРНАЯ МНОГОМЕРНАЯ СИСТЕ.ЧА

Пусть в (3.18) матрицы А, В, Q - непрерывные функции времени, а в начальный момент t==to состояние системы характеризу-

ется вектором х(о). Как и в предыдущем случае, будем рассматривать однородную систему вида (3.19). Этой системе соответствует фундаментальная матрица Ф(, т), зависящая от двух аргументов и удовлетворяющая дифференциальному уравнению

Ф а, т) - А (t) Ф it, X), Ф (т, т) = I. (3.29)

Аргумент т физически соответствует моменту возбуждения систе-мы начальными условиями, аргумент t - текущему моменту времени, отсчитываемому от момента т. Поэтому Ф(, т)=0, если t<Z ,<т, и Ф(, т)=Ф(, т), если tt.

Фундаментальная матрица нестационарной системы обладает <:ледующими свойствами:

Ф ( т) = Ф ( i) Ф (1, т); Ф (t, т) = Ф- (т, О• (3.30)

Для стационарной системы Ф(, т)=Ф(-т)=е*<~. В этом случае из (3.30) вытекают равенства (3.22). Решение неоднородного уравнения (3.18)

X (О = Ф [t. to) X (Го) + f Ф а. ) в (т) U (т) d т. (3.31)

Существенно при этом, что входное воздействие и(/) поступает на систему в момент времени t=to. Вектор выходных переменных y(t) согласно (3.18) и (3.31) будет равен

у (О = Q (О Ф it, t,) X (g + Q it) / Ф it. T) В (T) u (T) d T. (3.32)

Пусть в начальный момент t=to система находилась в состоянии покоя, т. е. х(о)=0. Тогда, если и(т) =б(т-о), то из формулы (3.32) получаем выражение для матрицы импульсных характеристик

W( o)=Q(0*(. о)В(о). (3.33)

Если и(т) = 1(т-о) и х(о)=0, то из (3.32) получаем выражение для матрицы переходных характеристик

Н (/, о) = Q it) { Ф it, т) В (т) d т. (3.34)

Таким образом, характеристики нестационарной системы могут быть в принципе найдены по формулам (3.33), (3.34). Однако, как следует из (3.34), для вычисления Н(, о) необходимо знать фундаментальную матрицу Ф(, т) как функцию второго аргумента т при фиксированном значении t. В то же время согласно уравнению (3.29) фундаментальная матрица Ф(/, т) получается как функция первого аргумента t. Поэтому вычислять Н(, о) по

(3.34) непосредственно нельзя. Практически матрицу \i{t, to) удобнее вычислять непосредственным интегрированием уравнений

x(f, o)=A(Ox(f, ;о) + В(01(-о);

\{{t,to)=Q{t)x{t, to), X{to, io)=0, tto. (3.35)

Следовательно, алгоритм определения переходных характеристик нестационарной системы будет следующий:

1. Интегрирование дифференциального уравнения (3.29) для фундаментальной матрицы Ф(, т) при т=о.

2. Вычисление матрицы W(, о) по формуле (3.33).

3. Интегрирование уравнения (3.35) и вычисление матрицы Н( to).

3.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ОЦЕНКИ

Динамику систем автоматического управления часто характеризуют с помощью интегральных квадратичных оценок - интегралов (в пределах от О до оо) от функций времени, характеризующих течение переходных процессов. Интегральные оценки используются также в качестве критериальных функций при параметрическом синтезе управляемых систем.

ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ

Интегральные квадратичные оценки вычисляют для импульсных характеристик w{t), для отклонений Ah{t) = fi(t)-fi{oo) и других функций, удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости. Методику вычисления интегральных квадратичных оценок мы изложим применительно к системе, движение которой описывается уравнениями

х(0 =Ах(0. x(t) =qx(0, х(0) =Хо, (3.36)

где X - скалярная выходная переменная. Система (3.36) принимается устойчивой, так что х()-»-0 при --оо. По определению,

J,= ]x?{t)dt, о

Ji=]lx4t) + aix4t)]dt, ai>0, о

называются интегральной квадратичной оценкой нулевого и первого порядка. В общем случае интеграл

Jk = ][x4t) + ax4t)+ ... +aft(x(*)(0)]d/, ai,..., а>0 о

определяет квадратичную оценку порядка k. При оговоренных условиях интегралы /о, /ь Jh существуют.