сти, то собственное движение преобразованной системы будет устойчиво. Следовательно, оптимизация (4.2) может быть осуществлена с помощью построенного алгоритма при начальном значении с° = 0.

Существенно следующее. Если оптимизацию системы (7.32) выполнить на движениях х*(/), Y(0, то найденное оптимальное

значение с* будет соответствовать фиктивному управляемому объекту. Поэтому процедуру преобразования необходимо провести также для эталонной системы (7.3). Аналогично (7.31) определим

уМО=У(Ое-. (7.33)

Тогда вместо (7.3) будем иметь

у*(/)=(А*-х1)у*(0, y*{t)=q\y*(t). (7.34)

В соответствии с (7.31) и (7.33) минимизируемые функционалы (7.5) и (7.6) следует представить в виде

/(с)= f х*(с)-у*(011 (7.35)

и аналогично

J (с) = ( [х* а, с)-у* {t)f dt. (7.36)

Минимизация функционалов (7.35), (7.36) на движениях систем (7.32) и (7.34) приводит к оптимальным значениям с*, при которых реализуется минимум исходных функционалов. Вывод расчетных соотношений для алгоритма оптимизации выполняется по методике § 7.3.

Отметим, что преобразование моделей с помощью замены переменных вида (7.31) выполнено А. А. Красовским в задачах аналитического конструирования регуляторов для неустойчивых объектов [37].

УПРАВЛЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫМ ДВИЖЕНИЕМ

Построенный ранее алгоритм оптимизации может быть применен для синтеза системы управления, обладающей свойствами ас-татизма. Рассмотрение проведем для случая, когда синтезируемая система должна обладать астатизмом первого порядка.

Пусть передаточная функция управляемой системы (7.1) не имеет нулевых полюсов. Построим систему, которая в установившемся режиме не имеет статической ошибки при постоянном входном воздействии. Следовательно, в данном случае должно выполняться условие (7.7) при л:вх(0 ==const. Введем дополнительную координату Хп+1, для которой выполняется соотношение

Xn+i=x-x{t)=x-q\{t). (7.37)

Рассматривая уравнения (7.1), (7.37) совместно, определим N-ыерные векторы. {N=n-{-l)

; q];, = [qiO]

(7.38)

и (jVxA)-матрицу A :0„

An =

(7.39)

......A......:0„

-qoj [-qi...-q„;0 J

где On - нулевой вектор размерности п.

С учетом принятых обозначений (7.37) - (7.39) получим

i(./)=Ax(/)-fbM(0-fejvX, A:(0=qVxw(0- (7.40)

При атом eiv=i(0-0 1)" - iV-мерный вектор.

Дополнительная переменная Xn+i доступна для непосредственного измерения. Поэтому вектор измерений будет

Zr+Ut) = nr+iX{t), Hr+i={{r+l), N), (7.41)

.Хп+1.

НгЧ-1 =

(7.42)

(7.43)

Сг Cr+l) ПОД-

(7.44)

Нулевые векторы On, Or размерности лиг соответственно.

Уравнения (7.40), (7.41) представляет собой расширенную модель управляемой системы. Для нее закон управления следует принять в виде

и (Xn) = CpZr+l (t) = Ср H+iXjv (О •

Здесь (r-f 1)-мерный вектор ср=(с1 Cr+i) = (ci Сг лежит определению. С учетом (7.38) и (7.39) из (7.43) следует

и(х, Xn+i) =сНх + Сг+1д;„+1

или согласно (7.37)

и(х, х) =сНх-ЬСг+1 (x-x)dt.

Как видно, закон управления (7.44) содержит составляющую, пропорциональную интегралу от ошибки 6х = х-х. Поэтому замкнутая система в установившемся режиме не будет иметь статической ошибки.

В отличие от рассмотренных ранее задач, в данном случае уравнение оптимизируемой системы (7.40) не является однородным при ы = 0. Следовательно, уравнение эталонной системы также должно быть неоднородным. Запишем его в виде

y(0 = Fy(0+ejvX, y{t)=q\y{t). (7.45)

Структура модели должна быть такой, чтобы для нее выполнялось предельное соотношение y{t)-x при too.

Особенность модели (7.40) заключается в том, что соответствующая ей передаточная функция содержит нулевой полюс в силу определения (7.37) дополнительной координаты. Поэтому

непосредственное применение алгоритма оптимизации к уравнениям (7.37), (7.43) нежелательно, поскольку вычислительный процесс может оказаться расходящимся. Следовательно, уравнения управляемой и эталонной систем предварительно необходимо преобразовать, заменив переменные согласно (7.31) и (7.33). В результате будем иметь

х* (О = (А-и1) x*jv (t) + Ьы* (О + QnW (t), A:*(0=qVxV(0; (7.46)

где ш()=хе~*. Аналогично для эталонной системы

y*(0 = (F-xI)y* {t)+ew{t),

г/*(0-ЯмУЧО- (7.47)

После преобразований задача оптимизации может выполняться в результате минимизации функционала (4.36), заданного на движениях систем (7.46), (7.47). При этом закон управления будет

u(x*jv)=c-pH,+,x*jv(0. (7.48)

Алгоритм строится по той же методике, что и для задачи управления состоянием системы.

7.4. УПРАВЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ

УПРАВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЕМ СИСТЕМЫ В СВОБОДНОМ ДВИЖЕНИИ

Распространим методику построения алгоритмов оптимизации одномерных систем на системы с несколькими управляющими функциями. Уравнения математической модели движения принимаем в виде

x(0=Ax(0+Bu(0; y(0=Qx(0, (7.49)

где x - л-мерный вектор координат состояния; и - т-мерный вектор управляющих функций; у - г-мерный вектор выходных переменных. Матрицы А, В, Q заданы и таковы, что система (7.49) вполне управляема. Как правило, измерению бывают доступны не все переменные, которые относятся к категории выходных. Поэтому модель (7.49) дополним уравнением измерительной системы

z(0 = Hx(0, (7.50)

где z - fe-мерный вектор измеряемых переменных; матрица Н размера kXn задана.

Принимаем, что управляющие функции ш, Ui, Mm вычисляются только по измерениям zi, Z2, zu. Поэтому закон управления

u{x) = Cz{t) = CHxit). (7.51)

Матрица С = [сц ] размера mXk подлежит определению.