последовательности линейных задач вычисления приращений 6*. Для этой цели нужно вектор-функции

x=x{t, С« + 6«), u = u{t, С« + 6«)

представить в виде явных зависимостей от 6«. После подстановки таких зависимостей в (6.25) исходный функционал /(и) заменяется приближенным квадратичным функционалом 7(6). Отыскание минимума этого функционала уже не представляет затруднений. Получим необходимые расчетные соотношения, на основе которых строится алгоритм оптимизации.

Вначале запишем уравнения оптимизируемой системы в таком ©иде, чтобы удобно было выполнить нужные преобразования. Учитывая, что С= (тхг), Q= (гХп), представим эти матрицы в следующем виде:

C=[ciC2...c,]; Q =

(6.27)

Здесь m-мерные векторы Cj представляют собой столбцы матрицы С, /г-мерные векторы qj - строки матрицы Q. В соответствии с (6.27)

CQ = [Ci сшСг]

Lqrj

= 2cqi-

(6.28)

Поэтому уравнение замкнутой системы (6.24), (6.25) для вектора •состояния х(/. С) можно представить в виде

х(. С)-

А + В 2с,-] /=1

х(/, С)

х(0, С) = Хо.

(6.29)

(6.30)

в силу (6.28) закон управления принимает вид u(x) = CQx(0 = (2c,q}]x(/, С).

Уравнения (6.29), (6.30) являются исходными при выводе расчетных соотношений для вычисления искомых параметров c*ij.

Введем теперь (nxw)-матрицы чувствительности системы «(6.29) к изменению ее параметров dx(t. С) 1

/=1, 2,..., г.

Применяя обычные правила, для Wj можно получить следующие дифференциальные уравнения:

¥,(/, C) = [A + BDQ]>F,(. C)+B[q-x(/, О)], WiiO, С)=0. j=\,2, г. (6.31)

Вектор состояния х(/, С«) определяется из (6.29) при С = С«. С по-

мощью функций чувствительности представляем х(/, С) в виде ряда по 6*; ограничиваясь линейными членами, имеем

X it, С) «,х (t. С) + 2 (t. С) 6;. (6.32)

/•=1

С учетом (6.32) вектор управляющих функций представим в виде

х(/. С)+2¥и CJ

+ 2б/яХ<. (6-33) /=1

Выражения (6.32), (6.33) определяют приближенную зависимость X, U от параметров закона управления. В результате подстановки этих выражений в (6.25) получим квадратичный функционал /(6«j), записанный для приращений Ъу

J (60 = [(х„ {t, ЬЩ1 + и, [t, Ь%1) dt, (6.34)

где X., U. определяются правыми частями (6.32) и (6.34). Экстремальные значения 6*j удовлетворяют системе векторных уравнений

- = 0, /=1,2,..., л (6.35) Справедливы следующие равенства:

а 6.

- (х: VxJ = 2 xj + 2 бГ FJj V Wj; (UI Ги.) = 2uj Г (qj X. 1„„ + D. Ту),

где Xs=x(/, С*); Ds= 2 c«iq«i = C«Q; символ Imm обозначает еди-

i =1

ничную матрицу размера tnxm.

С учетом приведенных равенств уравнения (6.35) принимают вид

2 Фл (c т) 6 = -gj {О, т), /=1,2,..., г. (6.36)

£=1

Здесь

ФJ {С, Т) = jV/ VWi+V]r Wi)dt;

g,-(CS T) Jf (¥}У+ш;ГОз)х,Л,

(6.37)

i, /= 1, 2..... r.

При этом (mX/n)-матрица

Wj = qjxamm+D,»F5. (6.38)

Систему уравнений (6.36) можно представить в компактной форме. Для этого введем mr-мерные векторы

(6.39)

и матрицу

ф(0, Т) =

(6.40)

1Ф,1(С,Т) ... Фгг(0,Т). размера тгХтг. Тогда будем иметь

Ф(С, г)бс=-д(С«, т). (6.41)

Уравнение (6.41) определяет экстремальные значения 6i, 6г, которые минимизируют функционал (6.34) при заданном значении С. Достижение назначенной окрестности глобального минимума исходного функционала /(и) возможно при многократном повторении процедуры минимизации функционала /(6*) (s = 0, 1, ...). Алгоритм включает следующие операции.

1. Интегрирование уравнения замкнутой системы х(/, С«) = (А + + BCQ)x(, С), х(0, С«)=Хо.

2. Интегрирование матричных дифференциальных уравнений (6.31) для функций чувствительности.

3. Интегрирование выражений

которые следуют из (6.37).

4. Формирование матрицы Ф(С«, Т) и вектора §(€«, Т) для принятого интервала интегрирования [О, Т].

5. Вычисление вектора 6с = -Ф"(C Г)д(С«, Т) согласно (6.41), формирование матрицы 6* и вычисление очередного приближения С*+ = С« + 6

Векторы и матрицы, входящие в расчетные соотношения, имеют следующие размерности: А=(/гХАг), Ъ={пХтп), C=(imxr); Q=(rx«), c,= (mxl), q=(lxn); ¥,= (/гХ/п), У={пХп), D,= = (тхп); Ф= (mrxtnr), g= {mrx 1).

В этом алгоритме, как и в предыдущих, должна быть обеспечена сходимость вычислительного процесса. Если управляемая система собственно устойчива, то сходимость С«-С* имеет место при нулевом начальном значении €" = 0. Для неустойчивой системы вычисление параметров закона управления может быть организовано с помощью приема (см. § 6.2), который основан на минимизации функционалов