Как следует из (7.85), передаточная функция Wy{p) будет обладать необходимыми свойствами, если Ф*{р) содержит «правые» кули В{р), а передаточная функция 1-Ф*(р) для ошибки - «правые» нули А{р).

Пусть

А{р)=А+(р)А-(р); В{р)=В+(р)В-(р), (7.86)

где многочлены Л+(р), В+(р) включают все п+ и т+ «левых» нулей многочленов А{р) и В{р) соответственно, а А-{р), В-(р) - все п~ и т~ «правых» нулей. В том числе и нейтральные, расположенные на мнимой оси. Отметим, что при оговоренных условиях справедливы равенства п+ + п-=п, т++т-=т.

С учетом факторизации многочленов (7.86) структура передаточной функции Ф*(р) должна быть следующей:

Ф*{р)=-В-(р), 1 Ф*(р)=тл-(р). (7.87)

D (р) D (р)

где многочлены R{p), С{р) подлежат определению, а многочлен D{p) назначается при синтезе системы из условия реализации желаемых динамических характеристик. Исключив из (7.87) передаточную функцию Ф*{р), получим полиномиальное уравнение

A-{p)C{p)+B-{p)R(p)=D(p), (7.88)

которое можно назвать уравнением синтеза по аналогии с терминологией, применяемой в теории дискретных систем [85].

Таким образом, в соответствии с (7.85) и (7.87) передаточная функция синтезируемого закона управления

r,(p) = -i. (7.89)

Отсюда следует, что на процессы в системе будут оказывать влияние правые нули многочленов А+{р), В+{р). Чтобы исключить это влияние, структуру передаточной функции Ф*{р) эталонной системы зададим следующими соотношениями:

*Р = Ш 1-Ф*И = ()- (7.90) Тогда полиномиальное уравнение синтеза примет вид

A(p)Cip)+Bip)R(p)=D(p), (7.91) а передаточная функция закона управления будет

Wy(p)=Ripy/C(p). (7.92)

Уравнения синтеза (7.88), (7.91) определяют неизвестные многочлены Rip), С(р). Чтобы эти уравнения были разрешимы, необходимо соответствующим образом назначать степени «л, «с и «о этих многочленов. Это делается из условия, чтобы число неизвестных коэффициентов с,, Tj было равно числу уравнений, вытекающих из (7.88) и (7.91) в результате приравнивания сомножителей при одинаковых степенях р. :

Рассмотрим подробнее наиболее интересный для практических приложений случай, когда Ф* (р) назначается согласно (7.90). Уравнение (7.91) будет разрешимо, если многочлены R{p), С{р), входящие в (7.92), и многочлен D{p), входящий в правую часть полиномиального уравнения (7.91), имеют следующую структуру:

{=0 i=0

D(p) = 2" + "idjpi. (7.93)

В таком случае из уравнения (7.91) вытекает векторное уравнение для искомых коэффициентов С{, ги имеющее вид

Gq = f,

= (с„... с„ 1 \ Го... r„ i); Г = (/о Д... /2„-i). f, = d„ f„+s=d„+s-a„ s = 0,l,..., «-I. При этом (2«X2n)-матрица

о=[ав].

(7.94)

Здесь следует принять an=l- Решением уравнения (7.94) исчерпывается задача определения параметров закона управления.

На практике необходимо синтезировать законы управления, обеспечивающие замкнутой системе свойства астатизма. Как следует поступать в таких случаях? Для рассматриваемой системы с передаточной функцией ll„(p), определяемой (7.92) установившаяся ошибка при постоянном входном воздействии х = const будет равна 8(оо) = [С(0)/Д(0)]Л(0)1, D(0)=70, Отсюда следует, что система будет обладать астатизмом, по крайней мере, первого порядка, если С(0)=0 либо Л(0)=0. Второе условие выполняется, когда передаточная функция управляемого объекта имеет нулевой полюс. Если это имеет место, то закон управления с передаточной функцией (7.92) обеспечивает свойства астатизма при С(0):70. Пусть W{p) не содержит нулевого полюса. Тогда следует принять C{p)=pCi{p), Ci(0)50.

Рассматривая затем приведенную передаточную функцию управляемого объекта W„p{p) = W(p)lp, порядок которой равен Л = =п--1, изложенную ранее методику можно применить для опре-

деления параметров закона управления и в данном случае. Его передаточная функция в конечном итоге должна иметь вид Wy{p)=R\(p)jpC\{p). Структура многочленов R\{p), Ci(p) определяется по (7.93), где вместо п следует принять Л. Аналогично нужно поступать и в тех случаях, когда требуется синтезировать систему, обладающую более высокой степенью астатизма.

Рассмотрим теперь вопросы реализации законов управления с передаточными функциями Wy(p). Согласно (7.92) управляющая функция u{t) является решением дифференциального уравнения

«" (О Ct («)"> it) = 8"> it), 8 it) = X,-X it).

(7.95)

{=0 {=0

Этому уравнению можно поставить в соответствие каноническую систему в фазовых переменных [23]:

us = Us+i, s=I, 2, .... n-l;

Un = -Co«l-С1Ы2-c„-i«„ + 8;

u=roUi + riU2+ ...+Tn-iUn. (7.96)

Уравнениям (7.96) в случае n=3 соответствует структурная схема на рис. 7.2. Следовательно, реализация закона управления осуществляется на основе интегрирующих элементов, усилителей и сумматоров.

в соответствии с изложенной методикой структура передаточной функции Wyip) и ее параметры отыскиваются из условия, чтобы характеристическое уравнение синтезируемой системы обладало назначенным распределением корней. Вместе с тем, как это следует из выражения (7.90) для передаточной функции замкнутой системы, характер переходного процесса по управляемой переменной xit) определяется нулями многочлена Rip). Нули многочлена С(р) влияют на характер переходного процесса по ошибке 8(0- Поскольку коэффициенты с<, п однозначно выражаются через коэффициенты ds, то спектр замкнутой системы необходимо назначать с учетом требований к переходному процессу.

4gH-(2>-