ряется с помощью ЭВМ, если воспользоваться условиями, сформулированными Шильяком [99] на основе теоремы Рауса. В соответствии с этими условиями для выполнения неравенства (2.19) при всех шО необходимо и достаточно, чтобы в первом столбце модифицированной таблицы Рауса (табл. 2.3), составленной для полинома

S (j со) = 2 (- 1)* g, 0)2*, g, > о (2.24)

fc=0

было п перемен знака, при этом go должно быть больще нуля.

Модифицированная таблица Рауса заполняется так. Во вторую строку записывают коэффициенты многочлена, представляющего собой производную от 5(jtt)), остальные строки таблицы заполняют по тому же правилу, что и для обычных таблиц Рауса (табл. 2.1). Первые две строки обычной таблицы Рауса

"п-2

ап-4, ап-ь

(2.25)

заполняют коэффициентами исследуемого многочлена S ак(а,

следующие строки получают в соответствии с рекуррентными соотнощениями

h Дп-1 Яд-2 - On Яп-з и а»-1 dn-i - On On-5

- -- , Oi - -

(2.26)

On-l On-i

„ bp йп-З - gn-1 1 „ bp On -5 - On-1 b2

Co--- , Cl--- , ...

Do Do

При этом могут возникнуть два критических случая: 1) если какое-то число в первом столбце таблицы (2.25) оказывается равным нулю, то необходимо первоначальный многочлен умножить на а + с, где с - произвольная положительная константа;

Таблица 2.3

2) если вся строка оказывается образованной из одних нулей, то ее нужно заменить коэффициентами первой производной исследуемого многочлена, как во второй строке табл. 2.3.

Для перебора значений q (параметра Попова) можно воспользоваться рекуррентными соотношениями [I]:

qf - 1/tg ( f Ь1 j , q- = 0, / = 1, 3, ... , /- 1, (2.27)

где q+j и q-j+i - положительные и отрицательные значения параметра; /--1 - число принятых для перебора значений, причем / задается четным.

Алгоритм строится так, чтобы вначале использовалось значение 0 = 0, а затем-положительные и отрицательные значения q, поочередно вычисленные по формулам (2.27). Таким образом, в алгоритме используется симметричный веер прямых Попова, число которых составляет 1+1. Упрощенная схема алгоритма анализа абсолютной устойчивости представлена на рис. 2.2. Программа, реализующая этот алгоритм, написана на языке Фортран и оформлена в виде подпрограммы-процедуры.

Начало

i

/ п,т, Kf, I, а;, St /

до>0 ГДа

Вычисление по алгоритму Рауса

Вычисление Рц,, U2k, /гн

вычисление дгн

Критерий выполняется

Вычисление

Конец J Рис. 2.2

Подпрограмма POPOV

Назначение: анализ абсолютной устойчивости системы автоматического управления с одним нелинейным элементом.

Обращение: CALL POPOV (N, М, А, В, KF, LN, IiP). Параметры:

N - порядок полинома знаменателя передаточной функции линейной части системы,

М - порядок полинома числителя передаточной функции линейной части системы,

А - массив коэффициентов знаменателя передаточной функции линейной части системы,

В - массив коэффициентов числителя передаточной функции линейной части системы,

KF - параметр, характеризующий нелинейный элемент (конечное положительное число),

LN - четное число принятых для перебора значений q (параметра Попова),

IP - целое число, равное 1, если система устойчива. О, если система неустойчива, - 1 при ошибках в программе. Используемая подпрограмма: RAUTHM.

Подпрограмма RAUTHM

Назначеиие: анализ устойчивости динамических систем по характеристическому полиному А(1)+А(2)*Р+ ... +A(N+l);tcP;tc;tcN. Обращение: CALL RAUTHM (А, N, IP, NS). Параметры:

А - массив коэффициентов характеристического полинома в порядке-

возрастания степеней р, N - порядок характеристического полинома, IP - целое число, равное 1, если система устойчива, и О, если система неустойчива,

NS - число перемен знака в первом столбце таблицы Рауса. Пример. Пусть передаточная функция линейной части системы вида

/С(1 + тр) (1+71р)(1 + ад {\ + 21,Т,р+тУ)

где А:=10; т=0,05 с, Г1 = 1 с, Г2=0,01 с, Го=0,1 с; So=0,L

Требуется определить значеиие ТСг, при котором в системе выполняются условия абсолютной устойчивости.

Исходными данными для подпрограммы POPOV в этом случае являются: N=4; М=1; А=(1; 1,03; 0,0402; 0,0103; 0,0001); В=(10; 0,5); KF=0,22; LN=90.

После выполнения подпрограммы получим 1Р=1, что означает устойчивость системы.

Решая эту же задачу при KF=0,225, получим 1Р=0, что означает неустойчивость системы.

Результаты решения в обоих случаях совпадают с результатами, полученными графоаналитическим методом [19].