ручаются из двух предыдущих элементов по следующим формулам:

а* 1 ,, если г четно,

a - ааз -i i нечетно;

(4.8)

, если i четно,

6*4-1-PftH-i если i нечетно. Здесь 1 = 0, 1, k-l; ah = a>olah; f>k = b\la\.

I Отметим, что ненулевые элементы четных строк и стоящие над рими элементы нечетных строк в левой части представленной таблицы образуют таблицу Рауса для полинома А{р). Из теоремы Ipayca об устойчивости следует, что все нули полинома тогда и рголько тогда лежат в левой полуплоскости, когда все коэффициенты а\ положительны. Положительность коэффициентов а\ яв-ёЛяется также необходимым и достаточным условием конечности ,установившейся дисперсии.

i Расчетное соотношение для вычисления искомой дисперсии

где коэффициенты ал, определяются по формулам (4.8). л Ниже приведена подпрограмма DISP, реализующая данный ал-роритм. В ее основу легла подпрограмма COLOSS [61]. Для сов-рместимости с другими программами этой книги был изменен по-Ьядок следования коэффициентов полиномов.

Подпрограмма DTSP

Назначение: вычисление интеграла (4.5) по заданным полиномам А{р), В(р).

Обращение: CALL DISP (А, В, N, IER, S).

Параметры:

А, В - массивы, содержащие коэффициенты полиномов А(р), В(р), расположенные в порядке возрастания степеней р, N - порядок полинома А{р),

IER - целое число, равное О, если все нули полинома А(р) лежат в левой

полуплоскости, и 1 в противном случае, S - вычисленное значение .интеграла (4.5). Пример. Рассмотрим линейную систему с передаточной функцией

W{P) =у{р)1х(р) = (рЧ4р)/(рЧ4р--5).

Спектральная плотность случайного входного возде;твия

1 1 1

Sx (м) = - =--.

1 +Ш2 1 -l-j(o 1 - j(0

Найдем дисперсию выходной переменной y{t), воспользовавшись приведеи-рым алгоритмом.

По формулам (4.6) найдем полиномы А{р), В(р): Составим таблицу коэффициентов а<*,

а. = 5/8 4 -1

а, = 8/5

3 ft

Искомая дисперсия o = У, - =0,3125

с nPVWEP ИСПСиЬЭ0Вй»«1 ПОДПРОГРАНШ DISP С

DIMENSION А(1»),В(1»)

ПАТА N/3/, А/5.,9..5.,!./, В/».,4.,1./

CALL IiISP(A,B,N,IEft,S)

IF(IER.EQ.») PRINT 5,S

IF(IER.EQ.l) PRINT 1»

STOP

5 F0RrtAT(/5X,S =,E12.5/) le FORMAT(/5X,СИСТЕМ» НЕУСТОЙЧИВА/) END

С ПОДПРОГРАМ» DISP С

SUBROUTINE DISF-(A,B,N,IER,S)

DIMENSION А(1),В(1),С(51)д1(5в) С С - РАЕОЧк« МАССИВ ДЛИНОЙ НЕ МЕНЕЕ N+1 CD- РАЕОЧк» МАССИВ ДЛИНОЙ НЕ МЕНЕЕ N

DO 1» 1=1 ,N

J=№-2-I

C(J)=A(I) le D(J-1)=B(I)

C(1)=A(N+1)

S=«.

PO 3» K=1,N

IF(C(K+1)»C(K).LE.».) GO TO 4«

ALFA=C(K)/C(K+1)

ВеТА=В(К)/С(К+1)

S=S+BETA»»2/.FA

K2=K+2

IF(K2.GT.N) GO TO 3»

DO 2» I=K2,N,2

C(I)=C(I)-ALFA»C(I+1) 2» D(I)=D(I)-BETA»C(I+1) Зв CONTINUE

IER=»

S=S/2.

RETURN :» IER=1

RETURN

4.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСПЕРСИИ ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ПО ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ

Рассмотрим систему с передаточной функцией

.()-Ьтр-+ +b,p+b,-ВМ „ 1.

Примем, что на вход этой системы поступает стационарный центрированный случайный процесс x{t), имеющий спектральную плотность 5ж(а). Требуется найти дисперсию реакции системы в установившемся режиме.

Изложим методику и алгоритм определения для случая, когда используется импульсная характеристика w(t) исследуемой системы.

Передаточной функции W(p) соответствуют дифференциальные уравнения в канонических переменных

ilsys-u s=\, 2, n-1;

iln = -аог/1-ai«/2-... -ап-\Уп+х. (4.9)

При этом выходная переменная

y = boyi + biy2+ ... +ЬгпУт. (4.10)

По определению w{t) есть реакция системы (4.9), (4.10) на входное воздействие x{t)=b{t) при условии, что начальные значения (0 =0 (=1,2, п-1).

Пусть случайному процессу x{t), имеющему спектральную плотность 5ж(м), соответствует корреляционная функция /Сх(т). Тогда корреляционная функция Ку{т:) случайного процесса y{t) на выходе исследуемой системы

при т = 0 формула (4.11) дает искомое значение дисперсии ау = = Ку{0).

Вычисления по определению оу могут быть упрощены, если исследуемую систему преобразовать к эквивалентной, на вход которой действует белый шум. Любой стационарный случайный процесс, имеющий дробно-рациональную спектральную плотность, может быть получен из белого шума (i) с корреляционной функцией и спектральной плотностью вида [48]

/С(т) = б(т); S(co) = l.

При этом случайная функция x{t) определяется как решение соответствующего неоднородного дифференциального уравнения, в правой части которого стоит l{t). Получим такое дифференциальное уравнение.

Дробно-рациональная спектральная плотность 5х(сй) может быть представлена в виде