Определение К(0 в (8.114) представляет собой задачу параметрического синтеза алгоритма наблюдения как динамической системы. В интересных для практики случаях эта задача не может быть решена аналитически. В связи с этим мы изложим алгоритмическую процедуру параметрического синтеза, которая удобна для реализации на цифровых вычислителях.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ АЛГОРИТМА НАБЛЮДЕНИЯ

При определении Kvn (О будем исходить из соответствующих линейных уравнений первого приближения. Уравнение для математического ожидания ошибки оценки 6х=х-х в точности совпадает с (8.113) при v(t)=6\(i). В этом можно убедиться в результате линеаризации уравнения (8.114) относительно х=х(, хо), приняв

i(0=x(0-i-6x(0-fx(o,

k(t)=x{t)-t{t),

где X - центрированная случайная ошибка оценки. Таким образом,

4 =[F(,x)-K(0 НЛх)] бх(0. (8.115)

Выполняя процедуру линеаризации, можно найти также урав-

пение и для x{t):

= [Р, {i, х)-К (О Н, а, X)] X (0+ к (О I it)- (8.116)

Для возмущенного режима наблюдения параметры Ki найдем из условия наилучшего приближения движения системы (8.115) из точки бх(о)=бхо к заданной эталонной системе:

т](0 = Р(Ол(0. л(Ь)бхо, (8.117)

где Р(() - известная непрерывная (лХл)-матрица. Близость бх(/) и т](0 будем оценивать по функционалу

/ (К) = ] >е (t) Rx (О dt, xit)=8x{t)-7]it),t,>to. (8.118)

Здесь R - неотрицательно-определенная квадратная матрица. Параметры Аи . "Ри которых достигается минимум функционала /(К), будем называть оптимальными и обозначать /<.ц , отмечая тот факт, что при Кц =Яуц процесс оценивания математического ожидания протекает оптимальным образом в принятом смысле.

Перейдем к минимизации функционала (8.118). Рассмотрим случай, когда асимптотическая устойчивость системы (8.113) может быть обеспечена при K(0=const. Предлагаемая процедура

параметрического синтеза алгоритма распространяется на тот случай, когда матрица К должна быть переменной.

Найдем явную зависимость /(К) от искомых параметров. С этой целью представим bx = b\(t, К) в виде ряда по функциям чувствительности системы (8.115) к параметрам Кц Введем векторы Кд = (К1д К2ц ... Кпн ) (м-= 1, 2, mj, образованные из столбцов матрицы К- Малые приращения векторов будем обозначать бКд. Пусть Кц -некоторые известные значения и Кц=К<д +бКц. Тогда, ограничиваясь линейными членами, можно записать

бх(/,К«) + бК) ?«6x(K())-f 2 в,( К("))б.. (8.119)

где 6х(/, К*")-рещение уравнения (8.115) при К=К< и 6х(о, К())=бхо; e{t, K°>) = [dx{t, К)/К1бк=о - матрица чувствительности.

В соответствии с известными правилами вц (t. К") определяется уравнениями чувствительности, которые получают дифференцированием (8.115) по Кц при 6К = 0. Запишем предварительно уравнение (8.115) в удобной форме

d8x(t, К)

F,{t,x)- 2 Khj;

бх( K)=G(6x, К). (8.120)

Здесь векторы h = (Л /гг .• Лцп) образованы из строк матрицы Hx{t, х) = [/гцу ]. Используя (8.120), найдем уравнения чувствительности. Имеем

дбх(/,К) дО(бх,К) абх(ЛК) , дО(бх,К) /с юп

-к;---б--ак-- + -тк;Г" -

Входящие в это равенство частные производные равны в соответствии с (8.120)

=FAt,x)+ 2 K,hJ;-i=-Ihбx(K),

где I - единичная матрица. Подстановка этих выражений в (8.121) дает при 6К = 0 искомые уравнения чувствительности

0 а, КС))=IF, (t, X) -КС) а, X)] 0 а, к)-

-lhl8x{t,m),ii=l,2, ... ,т, (8.122)

которые должны интегрироваться при нулевых начальных условиях. При этом вектор-функция 6х(, К°*) определяется уравнением (8.115) при К=К<°>

= [F (t, х)-К°) Н, (t. X)] бх (/, КС)),

5х(/„.КС)) = бХо. (8.123)

Считая, таким образом, функции чувствительности известными, рассмотрим процедуру минимизации функционала /(К). От-

метим, что при заданном значении К*" задача приближения бх(. К) к t\{t) сводится к вычислению величин бКц, минимизирующих квадратичную функцию

dt. А it, кп =

2 (/, КС)) бК-Д [t, КС)

= Л(0-бх(К()), (8.124)

которая получается в результате подстановки ряда (8.119) в (8.118). В (8.124) принято обозначение v2n== vfRv. Минимум /(бК) имеет место при тех значениях параметров бКц =бК<ц, которое удовлетворяют системе уравнений

2 Фа (КС)) б КС = ga (КС)), а = 1, 2, ... , т, (8.125)

где (лХпг)-матрицы Фц„ и /г-мерный вектор определяются выражениями

Фда (КС) = j it, КО) Кв„ ( КО) dt;

ga(K(")- { %{t, КС)) RA [t, КО) dt. -

Система уравнений (8.125) получается в результате дифференцирования /(бК) по бКц и приравнивания к нулю соответствующих производных. Ее решение можно записать в компактной форме, удобной для практических алгоритмов. С этой целью введем вектор 6К, элементами которого являются бКд: 6К= (бКг bVji ...бКт). Кроме того, определим матрицу в( К*") = = [ei(iK() ... Qm{t, КС))]. Тогда на основании (8.125) и (8.126) можно записать

6K()=0-4K())g(K()), (8.127)

где (тлХтп)-матрица Ф(К<)) и тл-мерный вектор g(K<)):

Ф (КО) = I е- [t, КС)) Re [t, КС)) dt;

g (КО) = j е- [t, КО) RA [t, КС)) dt.

Найденное значение бК минимизирует функционал /(бК)

при заданном К<°), поэтому min/(K<)-fбК)=й=т1п/(К). Жела-

6а: а:

емая степень приближения к абсолютному минимуму /(К) может быть достигнута многократным повторением процедуры минимизации для последовательно определяемых значений К*)+бК<) (/=1, 2,...). Применяемый для этой цели алгоритм включает следующие операции:

1. Интегрирование уравнений (8.117) и (8.123) при начальных условиях b-x.(td, VSi))=x[{to).