Докажем теперь, что случайный процесс, определяемый формулами (4.46), (4.47), действительно имеет корреляционную функцию (4.45). Для этого необходимо показать, что для любых двух моментов времени tj, th {tj<th) выполняется равенство

М [X (/,) X т = к, (th - tj) = De->-j . (4.48)

Из способа построения коэффициентов Ог, bi следует, что это равенство выполняется при k-j-\-l. Нетрудно также показать, что если справедливо равенство M[x(4-i)a:(j)] =De , а

x(tk) определяется по формуле x(th) =akX{tk-i)-\-bklh, то будет справедливо и равенство (4.48). Из этого следует, что равенство (4.48) справедливо для любых tj, tk {tj<.tk).

Расчетные соотношения (4.46), (4.47) могут быть использованы, если дифференциальные уравнения системы интегрируются с постоянным шагом или если процедура интегрирования с автоматическим выбором шага не допускает отбрасывания очередного шага. Однако в большинстве программ численного интегрирования с автоматическим выбором шага производится отбрасывание очередного шага и перерасчет с уменьшенным шагом, если оценка погрешности больше допустимой. В этом случае использование формул (4.46), (4.47) дает при пересчете уже другую реализацию случайного процесса. В результате шаг интегрирования начинает дробиться и либо происходит аварийный выход из программы, либо шаг интегрирования выбирается неоправданно малы.м. Чтобы этого не происходило, необходимо сохранять в памяти и использовать при пересчете значения случайного процесса в предыдущие моменты времени.

Пусть нам известны значения случайного процесса в двух соседних точках ti-i и ti и необходимо найти одно из возможных значений в промежуточной точке ti-i<t*<ti. Будем искать это значенпе в следующем виде:

x{t*) =cix{ti-i)+Cox{ti) +сз1. (4.49)

где I - независимая случайная величина с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Из условия обеспечения для случайного процесса в точке t* требуемой корреляции со значениями в соседних точках, получаем уравнения

М [А-2 (;*)] = с? D + с1 D + Сз + 2 q De-"""-i = D,

М 1х it*) x(tii)]=CiD+c,De-ii-i = De~"~i-i\

IA[x{t*)x{ti)]=CiDe-i-tv -fc2D=-De-""-* .

Решая эти уравнения, находим:

1 e-2"«-«-i

Сз = Kd [l-c?-4-2qc2e-"<i-W] . (4.50)

• По формулам (4.49), (4.50) можно вычислить значения случайного процесса в промежуточные моменты времени. При ti-г-10 эти формулы дают линейную интерполяцию по двум точкам.

Алгоритм моделирования случайного процесса с корреляционной функцией (4.45) в случае, когда возможно отбрасывание очередного шага интегрирования, будет следующим. В последовательные моменты времени моделирование производится по формулам (4.46), (4.47). При этом несколько последних значений процесса сохраняются в памяти. Если очередной шаг интегрирования оказался неудачным и был отброшен, интегрирование с уменьшенным шагом повторяется с некоторого предыдущего момента времени. В этом случае возникает необходимость вычислить значение случайного процесса в точке, лежащей между моментами времени, в которых процесс уже был рассчитан. Такой расчет выполняется по формулам (4.49), (4.50). После расчета каждого очередного значения случайного процесса это значение сохраняется в памяти, а самое старое значение удаляется.

Токажем теперь, как моделировать случайный процесс y{t), спектральная плотность которого имеет вид

5v(Co) = Wф(j(o)l (4.51)

где передаточная функция формирующего фильтра

Представим спектральную плотность в виде 8у{(и) =8х((а) X Х\Шф(](аУ\ \ Здесь

S,(co) = l/(a=+co2); (4.52)

Wфip) = {p+a)Wф(p). (4.53)

Таким образом, случайный процесс с требуемой спектральной плотностью (4.51) можно получить, пропуская процесс x{t), имеющий спектральную плотность (4.52), через динамическую систему с передаточной функцией (4.53). Искомый процесс получается моделированием процесса x{t) и последующим интегрированием уравнений состояния, описывающих передаточную функцию Wф(p). Выбор величины а в формулах (4.52), (4.53) может быть достаточно произволен. Однако, чтобы предотвратить вычислительные ошибки, величина а не должна сильно отличаться от корней характеристического полинома формирующего фильтра. Можно рекомендовать a=an-i.

ГЛАВА 5

МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО КОНСТРУИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ

Теория аналитического конструирования оптимальных регуляторов в ее первоначальном виде основана на использовании линейных моделей управляемых объектов, при этом оптимизация систем выполняется по квадратичным функционалам. Другое направление в теории аналитического конструирования связано с оптимизацией систем по критерию обобщенной работы А. А. Кра-совского. Методы этой теории позволяют синтезировать алгоритмы управления движением нелинейных систем. Особенность такой теории заключается в том, что она разрешает задачи аналитического конструирования до конца в общем виде, позволяет определить структуру законов управления и выявить их общие закономерности.

5.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ (ЛЕТОВ-КАЛМАН)

В общем случае задача об оптимальном линейном регуляторе формулируется следующим образом. Для объекта управления, который описывается системой линейных дифференциальных уравнений

x{t)=A{t)x{t) + B(t)u(t), х(о)-Хо, (5.1)

необходимо найти закон управления Uo(), при котором реализуется минимум квадратичного функционала

У (U) = Х (д Ф, X (У -f ]Х И) Фxt) +

+ \it)¥u{t)]dt. (5.2)

Здесь X-п-мерный вектор фазовых координат; и-г-мерный вектор управляющих воздействий; А (О-матрица динамических параметров объекта размера пХ«; В() -матрица коэффициентов усиления управляющих воздействий размера пХг; Фк и Ф() - неотрицательно определенные, а {t) - положительно определенная матрица весовых коэффициентов (весовая матрица).

Оптимальный закон управления Uo(0, который обеспечивает минимум критерию (5.2)

no(t)=4-BHt)K{t)x{t)~\)(t)x{t), D(0=4P-->B-(0K(0,

(5.3)

где К(/) -решение матричного дифференциального уравнения типа Риккати:

К (О =-К (О А [t) -А- (О К (О + К (О В (О ЧР--В (О К(0 -Ф

(5.4)

с граничным условием К(г!к)=Фк. В этом случает дифференци-