дифференцирование (7.61) по вектору бц. Обозначим ф(, б) =

= I it, C°)6~-\{t, СО). Тогда г

7(6)= в) Vф( б) Л.

На основании формулы дифференцирования произведения двух векторов имеем

(фУф) = ф4-Ф.

dbi д bi д bi

Поскольку справедливо равенство

А (Уф) = У-ф = УЧ, {t, СО), obi dbi

то последнее выражение можно записать так: (фУф) = 2фУ - ф = 2фУЧг(С) =

dbi = 2

УЧ, (i, С").

S 4,(i,C)fi-A(C») Ln=i

Таким образом, систему векторных уравнений (7.63) можно представить в виде

dbi i, dbi

E П(С)бц-А(,С»)

(/, С») d/-0,1 = 1,2,...

Выполнив транспонирование этих уравнений, будем иметь

j (t, С«) V

(7.64)

2 Чц(С«)бц-А(/,С»)

.n=i

Чтобы записать в компактной форме систему (7.64), определим (тхт)-матрицы

Рц (С», Г) - f (/, С») \ЧГ (t. С») (7.65)

и т-мерные векторы

Ъ (С», Г) = f ( СО) V А (/, С) dt (7.66)

С учетом (7.65) и (7.66) система векторных уравнений записывается следующим образом:

Pj, (С. т)... Pi, (с«, ту

(7.67)

Наконец, введем (mkXmk)-матрицу Р(Со, 7)=.[РгЛСо, r)],i,/=1,2, ...,k,

и mfe-мерные векторы

(7.68)

Тогда уравнение (7.67) можно записать в окончательном виде

Р(Со, T)fiOc = v(Co, Г). (7.69)

Матрица Р (С, Т) положительно определена, поэтому ее определитель отличен от нуля. Следовательно, из (7.69) непосредственно находим

fiV = P-(Co, Г)7(Со, 7). (7.70)

Вектор б°с доставляет локальный минимум функционалу /(б) = = /(С°-Ьб) при заданном значении С. Если при С = С° замкнутая система устойчива, то сколь угодно высокую степень приближения min/(0+fi«)->-min/(C) можно получить многократным ре-с

шением уравнения

P(D, Г)fic=7(C Т), (7.71)

формируемого каждый раз для вновь вычисленного значения матрицы С«+ = 0-ьб« (s = 0, 1, ...). На этом и основан алгоритм поиска оптимальных параметров закона управления.

Отметим", что согласно определению (7.68) вектор fi«c образован из столбцов 6*1 fi*ft матрицы fi« = fi«c. Поэтому в структуре алгоритма должна быть предусмотрена операция формирования fi« из компонентов вектора бс-

Алгоритм вычисления оптимальных значений параметров включает следующие операции.

1. Интегрирование (на один шаг) дифференциального уравнения замкнутой системы х(/, О) = (АН-ВС«Н)х(/, С), х(0, С«) = = Хо при заданном значении С.

2. Интегрирование дифференциального уравнения эталонной

системы X* (О =Гх* (/), х*(0)=хо и вычисление вектор-функции Д(/, 0)=x*(t)-K(t, О) на текущем шаге интегрирования.

3. Интегрирование (на один шаг) системы матричных дифференциальных уравнений чувствительности г( О) = (А-(-+ BC»H)4i(f, 0) + b[h\x{t, О)], Wi(0, О)=0 (t=l, 2, k).

4. Интегрирование (на один шаг) выражений

P,ИC t)=Mt, C0V4i(/, О), Рц{С\ 0)=0;

v(o, Г)=ч-г(/, o)VA{t, О), vi(c о)=о, i, /=i, 2, .., k.

5. Выполнение сравнения: если t-T<iO, продолжить интегрирование-перейти к п. 1; если /-Г>0, окончить интегрирование - перейти к п. 6.

IfiO

6. Формирование матрицы Р(С«, Т) = \\Рц{С, Т)\\ размера mkXtnk и т-мерного вектора v(C«, T) = \\yi{0, Т) ... Vft(C«, Т)\\.

7. Вычисление вектор-поправки параметров б* = Р~(0, Т)Х Xv(C Т).

8. Формирование матрицы б«=662 ••• \\\ из компонентов вектора 6*с = II (б)(6«2) ... (б*й) и вычисление нового значения С«+1 = С«+6* матрицы искомых параметров закона управления.

9. Вывод результатов на печать: С«+, Ь, J{0), s, ...

10. Проверка признака окончания процесса оптимизации: вычисление квадрата длины вектора 6«с1Р= (6«с)(6«с) и выполнение сравнения: если 6VIP-8с>0, провести очередной цикл вычислений- перейти к п. 11; если 6*с1Р-есО, счет окончен.

11. Восстановление начальных условий: х(0, С«)=хо, WiiO, С«)-0, Р.ц{0, 0)=0; х*(0)=хо, ъ(С\ 0)=0 (t, /=1, 2, ... ...,k).

12. Повторение цикла вычислений три очередном значении С*.

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА

При построении алгоритма вычисления оптимальных параметров закона управления предполагалось, что разомкнутая система устойчива. В таком случае вычислительный процесс будет сходящимся (С«С*) при нулевом начальном значении С0=0. Если управляемая система неустойчива, то сходимость вычислительного процесса может быть достигнута с помощью регуляризации алгоритма. Рассмотрим эти вопросы применительно к математической модели управляемого движения вида (7.49), (7.51).

Как и для одномерной системы, регуляризация алгоритма основана на преобразовании уравнений математической модели, в результате которого исходная неустойчивая система приводится к устойчивой, уравнения которой записаны для новых переменных состояния. Аналогичные преобразования выполняются и для эталонной системы. При этом искомые оптимальные значения параметров закона управления определяются путем минимизации исходного функционала (7.53) на движениях преобразованных систем.

Выполним замену переменных в уравнениях модели по формуле

х(0=х(Ое->", х>0. (7.72)

После необходимых вычислений получим

- (А-х I) X (t) + Bu, z it) = Нх (t);

u(x)= Ci(0 = CHx(0,

где z(0 = z(0e-; u(t) = u(Ое-".

Преобразование (7.72) смещает спектр исходной системы (7.49), (7.51) влево на плоскости комплексной переменной. Следо-

6-69 161