Ошибку оценивания

e(0-x(0-z(0 (8.10)

можно назвать ошибкой фильтра. Чтобы процесс на рыходе фильтра был несмещенной оценкой, должно выполняться равенство

M[x(f)]=iM[x(0]=x(0. (8.11)

Вычислим математическое ожидание обеих частей уравнения ;(8.9). Имеем

М [2(0 ] = F (О M[z (О ] 4- G (О U (О 4- К (О М[у (О ], (8.12)

но из (8.2) следует, что

М[у(0] = Н(ОМ[х(0]. (8.13)

На основании (8.11) - (8.13) получаем дифференциальное уравнение для (Среднего значения (вектора состояния системы

X (О = [F (О + К (О Н (О ]х(О + G (О U (О. (8.14)

Вычисляя математическое ожидание от обеих частей уравнеиия 1(8.1), получаем еще одно уравнение для среднего значения вектора состояния

х(0=А(0х(0-ЬВ(0и(0. (8.15)

Сравнивая уравнения (8.14) и (8.15), можно определить первое условие несмещеинооти оценки вектора состояния с помощью рассматриваемого фильтра

F(0=A(0-K(OH(/); G(0 = B(0. (8.16)

Второе условие состоит в там, чтобы уравнения (8.14) и (8.15) решались При одном я том же [начальном условии

х(о) =М[Х(о) ] = М[х(/о) ] =хо. (8.17)

Если выполнить условия несмещенности (8.16) и (8.17), то уравнение фильтра (8.9) примет вид

z(0=A(0z(0+B(0u(0 + K(0[y(0-H(0z(01.

z(fo)=Xo. (8.18)

Остается определить матрицу коэффициентов усиления фильт-, ра K{t), которая бы обеспечила оптимальную оценку в том смыс-- ле, что составляющие ошибки оценивания (8.10) должны иметь минимальную дисперсию. Матрица коэффициентов усиления оптимального фильтра определяется выражением

K(0 = P(0H40R-4t). (8.19)

где Р(0 -корреляционная матрица ошибок оценивания. Согласно (8.10) и (8.11) оказывается, что

М[е(0]=0, Р(0=М[е(Ое(0]- (8.20)

Начальное значение матрицы Р(0:

Pi/o)=M{ [x{Jo) ~z{to) ][xito) -г (to) ] =

= M{[x(fo)-Xo]i[x(/o)-x]-}. (8.21>

Так как в соответствии с (8.17) справедливо z(fo)=xo, то согласно (8.7) получаем

Р(о)=Ро. {8.22}

Корреляционная матрица ошибок является решением матричного дифференциального уравнения Риккати

Р(0=А(ОР(0 + Р(ОАМО-

~Р (t) (О R-1 (О н (О Р (О + с (О Q (О с- (О. (8.23)

которое следует решать при тачальных условиях (8.22), где Ро-- корреляционная (Матрица ошибок оценивания х(о)-

Рассмотрим теперь синтез фильтра для стационарных условий. Пусть система, определяемая уравнениями (8.1) « (8.2), является стационарной, т. е. А, В, С и Н - постоянные матрицы. Предположим также, что матрицы Q и R - постоянны, а начальный момент времени наблюдения to--сзо. При этих допущениях уравнение фильтра Калмана-Бьюси принимает вид

z (0. = Az (О + Ви (О 4- К [у (О - Hz (О ]. (8.24)

Матрица коэффициентов усиления фильтра оказывается постоянной и определяется выражением

KaPHR", (8.25)

где Р - положительно-определенная матрица, являющаяся решением алгебраического матричного уравнения Риккати

О = АР -Ь РА - РН R- HP -Ь CQC (8.26)

Матрицу Р можно вычислить различными способами, в частности как установившееся решение дифференциального уравнения

Р(0=АР(04-Р(0А-

-P(OHR-iHP(0-fCQC\ Р(0)=0, (8.27) т. е.

P = limP(0. (8.28)

Постоянство матрицы К для стационарных условий позволяет весьма просто реализовать линейный фильтр на базе аналоговых элементов.

Во многих задачах закон управления является лшейным, зависящим от координат состояния объекта. Положим, что управление вместо самого состояния зависит от его оце1Н!Ки: u{t) =

--D{t)z{t). Подставляя это уравнение в уравнения (8.1) и (8.18), получаем:

X (t) = А (Ох(0-В (О D (Оz (О + С (О w(О;

z(0=A(0z(0-B(0D(0z(0+K(0[y(0-H(0z(0]. Таким образом, замкнутый контур регулирования, состоящий из объекта, фильтра « (регулятора, можно описать обобщенной системой дифференциальных уравнений

А I -BD КнТА-ВО-КН

Структурная схема сггохастичеокой системы управления приведена яа рис. 8.1. В общем случае для поотроения фильтра леоб-ходима ЭВМ, программа даторой должна состоять из двух частей: первая включает решение уравнения Риккати (8.23), вторая - решение уравнений объекта (8.1), (8.2) и фильтра (8.18). Схема алгоритма приведена на рис. 8.2.

a(t)

B(f}

X(fal

x(t)

A(t)

y(f)

О&ьект управления

Г"

K(t)

z(to)-tA[x(fo)]

bit)

H(t)

Фильтр Калкана - Бьюси

Lit)- i[t)