с ненулевыми начальными условиями х(0) = = еу . Структурная схема для модели (4.26) приведена на рис. 4.2Д

Таким образом, получены все расчетные соотношения, необходимые для вычисления дисперсии Gy исследуемой системы в установившемся режиме. Процедура расчета включает следующие основные этапы.

1. Определить для заданной спектральной плотности Sx(co) передаточную функцию W,y{p) формирующего фильтра и записать его дифференциальное уравнение в виде (4.18).

2. Представить дифференциальные уравнения исследуемой системы и формирующего фильтра в нормальной форме (4.21) и (4.22) для канонических переменных.

3. Вычислить интегрированием однородной системы (4.26) импульсную характеристику w{t) эквивалентной системы.

4. Вычислить интеграл от {t) на интервале (О, Т), длина которого должна быть не меньше длительности переходного процесса в системе.

Отметим, что предписания 3, 4 в алгоритме статистического анализа вьшолняются одновременно.

На рис. 4,3 приведена схема алгоритма сии СТу.

Пример. Пусть передаточная функция исследуемой

Начала

Исходные данные

~~т-

I w(f)

Печать результатов

\J Конец Рис. 4.3 вычисления диспер-

системы имеет вид

W(p) = (2p+l)/(p2-l-4p-l-l). (4.27)

Спектральная плотность случайного процесса х на входе системы вида 5;.(со)=2/(4-Ьсо2). (4.28)

Получим уравнения, по которым вычисляется дисперсия а;, выходной переменной заданной системы в установившемся режиме.

Передаточной функции (4.27) соответствует дифференциальное уравнение цу=2х+х или в канонических переменных

(4.29)

Представим спектральную плотность (4.28) в виде произведения сопряженных множителей

Тогда согласно (4.13) и (4.14) передаточная функция формирующего фильтра будет вида

Wiip) = G(p)IR{p)=y2/{2+p). (4.30)

Следовательно, дифференциальное уравнение для случайного процесса будет

x+2x=lY2. (4.31>

где I - белый шум с единичной спектральной плотностью.

Уравнения (4.29), (4.31) составляют модель эквивалентной системы. Импульсная характеристика w(t) этой системы является решением неоднородных уравнений

Шф(0+2аф(0=К2б(0. аф(0)=0;

y(t) =

(4-32>

" о 11 го У (0 +

-1 -4J и,

w(t)=yat)+2y2(t).

Первое уравнение может быть заменено однородным с ненулевым начальным условием Шф(/)--2вУф(0 =0, 1Уф(0)=/2.

Таким образом, искомые уравнения эквивалентной системы получены.

4.3. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ СИСТЕМЫ В ПЕРЕХОДНЫХ И УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМАХ

В предыдущих разделах изложены методики и приведены алгоритмы определения дисперсии выходной переменной стационарных систем в установившихся режимах работы. В теории динамических систем разработаны приемы, позволяющие оценить статистическую точность в переходных режимах. Эти приемы основаны на интегрировании дифференциальных уравнений, формируемых для вторых центральных моментов выходных переменных исследуемой системы. Идеи этого метода были изложены, по-видимому, впервые авторами [48]. Методики получения соответствующих уравнений можно найти в [5, 32]. Рассмотрим эти вопросы применительно к одномерным системам.

Задачу формулируем следующим образом. Исследуемая система задана уравнениями

у(0 =Ау(0 +Ьх(0, y{t) =qy(0. (4.33>

где у - n-мерный вектор координат состояния; х - входное воздействие; у - выходная переменная. Матрица А размера пХп, q - л-мерные векторы, которые в общем случае могут зависеть от времени t. Считаем, что входное воздействие х - стационарный центрированный случайный процесс с дробно-рациональной спектральной плотностью 5ж((о). Требуется определить дисперсию oy(t) выходной переменной y(t) исследуемой системы для каждого момента времени />0.

Для решения сформулированной задачи вместо исходной системы (4.33), возбуждаемой случайным процессом x{t), будем рас-76

сматривать эквивалентную систему, входным воздействием которой является белый шум (t) с единичной спектральной плотностью. Пусть заданной спектральной плотности 5ж(со) случайного процесса х соответствует формирующий фильтр, дифференциальное уравнение которого имеет вид

k(0 = Rx(0+evg(0. (0=Гх(0. (4.34)

Элементами матрицы R и вектора g являются коэффициенты г,, gj передаточной функции формирующего фильтра (4.14). При этом структура R и g соответствует (4.22).

Таким образом, статистический анализ исходной системы (4.33) сводится к исследованию системы (4.33), (4.34), возбуждаемой белым шумом (t). Указанные уравнения будем рассматривать совместно, записав их в следующем виде:

X (О - Rx (О + ev Е (О, i (О = Г Rx (О +ёе 1 (О,

у(0=Ау(0+Ьх(0, г/(0=ЯАу(0+<7Ьх(0. (4.35)

Состояние этой системы характеризуется вектором z= (ххуу) размерности N=v+n + 2. Запишем уравнения (4.35) в компактной форме. Для этой цели введем (yVXyV)-матрицу F и yV-мерный вектор h следующей структуры:

(4.36)

Здесь 0,j - нулевая матрица размера ixj; 0.= (О О ... 0) - k-мерный нулевой вектор. С учетом принятых обозначений система (4.35) может быть представлена в виде

z(0=Fz(0+hE(0. (4.37)

Теперь получим дифференциальные уравнения для вторых центральных моментов координат Zi, Zn системы (4.37). По условию математическое ожидание M.[x(t)]=0, поскольку принято, что x{t) - центрированный случайный процесс. Тогда матрица вторых центральных моментов будет

D.(0=M[z(OzMO]=№i(0]. i, /=1. 2, Л.

Принимая во внимание структуру вектора z, заключаем, что диагональный элемент последней строки матрицы Dz представляет собой искомую дисперсию выходной координаты y{t) исследуемой системы, т. е. djvjv(0 =ог/(0-

Чтобы найти дифференциальное уравнение для Dz{t), поступим следующим образом. Подставим в выражение

lz{i)z-{t)] = z{t)z(t) + z{t)z-{i)