альное уравнение замкнутой оптимальной системы будет иметь вид

x(0 = [A(0-B(OD(0]x(0=Ao(Ox(0.

Ao(0=A(0-B(OD(0. (5.5)

Следует отметить, что несмотря на большое количество работ, посвященных обоснованию и применению метода аналитического конструирования (А. М. Летова, А. А. Красовского, В. И. Зубова, Н. Н. Красовского, Р. Е. Калмана и других ученых), ряд практических вопросов, важных для инженера-разработчика систем управления, на наш взгляд, до настоящего времени не нашел достаточного отражения в существующей литературе. К таким вопросам относятся:

1. Разработка алгоритмов и типовых программ линеаризации нелинейных дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ.

2. Выявление связи критерия качества оптимальной системы с ее динамическими свойствами; выбор весовых коэффициентов критерия качества.

3. Разработка типовых программ для синтеза систем управления с помощью ЭВМ на основе общей теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов.

4. Выявление несущественных обратных связей, слабо влияющих на динамические свойства системы, и построение квазиоптимальных регуляторов, которые более просто реализовать в конкретных системах.

В настоящей главе рассматриваются все эти вопросы.

5.2, ВЫБОР ВЕСОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ КРИТЕРИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ

Во многих задачахуправления качество регулирования считается удовлетворительным, если такие характеристики системы, как время переходного процесса, перерегулирование, средняя квадратическая ошибка, остаются в заданных пределах. В этих условиях подходящим критерием оптимальности системы является квадратичный функционал (5.2). Рассмотрим каждый член этого функционала и установим, насколько правильно он отражает требования технического задания, предъявляемые к системе [6].

Слагаемое /2Х(0Фх(0 оценивает отклонения фазовых координат от желаемых. При этом система «штрафуется» за большие ошибки намного больше, чем за малые.

Слагаемое V2U(04"u(0 оценивает стоимость управления (часто называют мощностью управления).

Слагаемое 72Х(/к)ФкХ(к) гарантирует .малость ошибки в конечный момент времени к, его необходимо учитывать в том случае, когда влияние величины \{t) в конечный момент времени особенно важно.

Основное затруднение, с которым приходится сталкиватьс» инженеру-разработчику при решении задач аналитического конструирования оптимальных регуляторов, - выбор элементов весовых матриц Ф и Ч*" в (5.2), который определяет динамические свойства оптимальной системы. Обычно матрицы Ф и Ч*" назначаются постоянными и диагональными. Найти явные аналитические зависимости между элементами матрицы К(0. а следовательно,, динамическими свойствами системы (запасами устойчивости, колебательностью, временем переходного процесса и т. д.), и весовых матриц, вообще говоря, невозможно, так как матрица К(0 есть решение системы нелинейных дифференциальных уравнений типа Риккати. Поэтому при выборе элементов весовых матриц: обычно используют метод последовательных приближений.

Для предварительного выбора значений элементов весовых, матриц Ф и Ч*" можно воспользоваться следующими рекомендациями.

1. Считать, что максимально допустимые отклонения фазовых координат х() в любой момент времени вносят в функционал качества одинаковый вклад. Если аналогичные рассуждения распространить и на отклонения сигналов управления u{t), то эт» условия можно выразить с помощью формул

Фа=(ГР11; Ь]= ")>и- (5.6>

\ "Мах

Здесь Хгтах - мэксимально допустимое отклонение t-й координаты (t = 2, 3,..., п), определяемое техническим заданием; ы,тах - максимально допустимое отклонение /-го сигнала управления (/ = 2, 3,... , г) согласно техническому заданию.

Суммарный вклад максимально допустимых отклонений фазовых координат должен приблизительно равняться суммарному вкладу максимально допустимых отклонений сигналов управления. Исходя из этого предположения, получим дополнительное соотношение

2 Фи Ximax = 2 ;7"/max- (5.7>

.=! /=1

2. Значение гц назначить произвольно. Тогда для принятого» значения ajn (например, aj)ii = l) по формулам (5.6), (5.7) можно вычислить значения остальных коэффициентов.

Приведенные здесь рекомендации по выбору весовых коэффициентов являются неполными. В ряде случаев необходимо учитывать дополнительные условия, а также конечные результаты синтеза и последовательно уточнять целесообразные значения! этих коэффициентов [37]. Полученные по формулам (5.6), (5.7) значения весовых коэффициентов следует рассматривать как начальные оценки.

Необходимо отметить, что если отклонения по всем координатам достигают своего максимума не одновременно, формуль» (5.6), (5.7) неверно отражают требования, предъявляемые к си-

стеме. Поэтому окончательный выбор весовых коэффициентов -следует производить после нескольких пробных расчетов обратных связей и последующего моделирования проектируемой системы. Если какая-либо координата (или сигнал управления) по своим отклонениям не соответствует требованиям технического задания, то следует увеличить весовой коэффициент в критерии качества (5.2) по этой координате (сигналу управления). Опыт расчетов показывает, что после двух-трех итераций обычно получаются удовлетворительные результаты.

Для более целенаправленного изменения весовых коэффици-ентов в каждой итерации полезно построить зависимости, определяющие связь между ними и показателями качества переходного процесса в системе (перерегулирование а, время переходного процесса tn, колебательности , максимальные отклонения сигналов управления Mjmax). Рассчитать эти зависимости можно следующим образом:

1) вычислить приближенные значения элементов матриц Ф и по формулам (5.6) и (5.7);

2) определить К (О, D(if), uo{t) и построить переходный процесс, решая систему уравнений (5.5);

3) найти а, in, t,, Ujmax и нанести их на график;

4) изменить один из элементов (рц и xpjj, сохраняя прочие неизменными, повторить вычисления, указанные в пп. 2 и 3.

По построенным таким способом графикам можно определить «абор элементов (ри и il);.,, которые обеспечат требуемые переходные процессы в замкнутой системе.

Рассмотрим стационарный сЛучай, т. е. предположим, что A{t), B{t), Ф(0 и W{t)-постоянные матрицы и «-оо. Тогда матрица К может быть найдена как решение алгебраического уравнения

КА+АК-КВЧ->ВтК=-Ф. (5.8)

В этом случае зависимость между элементами весовых матриц и златрицы К может быть найдена из решения матричного алгебраического уравнения Ляпунова [47]. Найдем это уравнение. Про-.дифференцировав равенство (5.8) по ф;, -элементу матрицы Ф, тхолучим:

А + А---ВЧ-1ВК -

d(fii d(fij dffij

-- КВЧ-1 В =--- . (5.9)

dtpij d<Pij

С учетом выражения (5.5)

9 A„+AjA , /,/=1,2. (5.10)

д(рц dcpi) d(pij

Решение уравнения (5.10) позволяет установить зависимость тиатриц К, D и Ао от одного из элементов весовой матрицы Ф. Чтобы решить это уравнение, необходимо выполнить две операции: сначала разрешить его относительно производной дК/д(рц,