ектории движения) используются инверсные модели. Инверсная модель, как правило, не может быть получена в виде уравнений состояния в нормальной форме Коши. Поэтому целесообразно использовать модель в виде передаточной матрицы.

Пусть математическая модель автоматической системы имеет вид

y = W(p)u,

где (р) = Я{р)/д{р)-передаточная матрица размера тХт. Тогда инверсную модель можно представить в виде u=W-(p)y, т. е. построение инверсной модели сводится к обращению матрицы W(jci). Будем считать, что W(p) является передаточной матрицей для некоторой системы, представленной уравнениями состояния (1.42). Тогда согласно теореме 1 все миноры второго по-оядка матрицы R(p) делятся на q(p).

Для обращения передаточной матрицы воспользуемся методом Жордана [20]-построим последовательность матриц W(>(p) = = R("(p)/£/W(p), таких, что W) (р) =W(p), W(™)p = W-i (р). Переход от матрицы W()(p) к матрице W<+)(p) осуществляется по формулам

И+1)(р) =

1фк+ 1,

r\f {р) rff 1. (Р) - r.ifli (р) г[% (р) ЯР)

1Фк+ 1,

г[%{р),1=к+\,1Фк+\, -ЛХм (P).i¥=fe-f 1,/-+ 1. (/С) (р), i = 1, l = k+ 1,

(1.62)

9(t+.)(p)=r(W,,,+,(p).

При fe = 0 деление полиномов в этих формулах выполняется без остатка. Можно также показать, что если миноры второго порядка матрицы R((p) делятся на (Р). то миноры второго порядка матрицы R(+(p), вычисленной по формулам (1.62), делятся на q+>{p). Таким образом, для всех k деление полиномов в формулах (1.62) выполняется без остатка и R(+(p) является полиномиальной матрицей.

В описанной схеме метода Жордана в качестве ведущего выбирался диагональный элемент матрицы. Для повышения численной устойчивости целесообразно использовать выбор ведущего элемента по строке, например, выбирать элемент с максимальным по модулю коэффициентом при старшей степени р.

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

Полученные соотношения могут быть также использованы для расчета передаточных функций замкнутой системы по известным передаточным функциям разомкнутой системы.

Пусть управляемая динамическая система описывается уравнениями

x=Ax + Bu, y = Cx + Du,

где u=(«oWi); у= (i/ot/i ... Ут); го - внешнее воздействие; Ui - сигнал управления; уо--выходная переменная;, уи ут-наблюдаемые переменные, используемые для управления (наблюдаемые выходы). Вход-выходные соотношения

у,= - и„ 1 = 0, 1, ... , т. (1.63)

Я (р) я (р)

Сигнал управления формируется как линейная комбинация наблюдаемых выходов:

Ы,=-,г/,- ... -кгаУт. (1.64)

Решая уравнения (1.63), (1.64) относительно выходной переменной, получаем:

r{p) + hs, (p)-f-...-Fs(p)

<7(p)-f *,л„(р)-Ь...-Ь*тГ„,(р) °

•оо (Р) 01 (Р)

Я(Р)

По (Р) Гц (р)

,1 = 1,..., т. (1.66)

Согласно теореме 1 деление полиномов в (1.66) выполняется без остатка и Si{p) являются полиномами. Передаточная функция замкнутой системы (1.65) получена в виде, удобном для анализа влияния коэффициентов ki.

1.7. УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Понятия управляемости и наблюдаемости являются основополагающими в современной теории управления. Свойство управляемости характеризует наличие или отсутствие управляющей функции, которая позволяет изменять состояние системы в нужном направлении. Свойство же наблюдаемости состоит в том, что начальное состояние системы может быть определено по результатам измерений ее выходных переменных.

Рассмотрим линейную стационарную систему

x(0=Ax(0+Bu(0, y(0 = Cx(0-fDu(0. (1.67)

где х(/)-п-мерный вектор состояния; u{t)-г-мерный вектор управления; г/(0-/га-мерный вектор выходных переменных; А, В, С и D - постоянные матрицы размера (пХп), (пхг), (mxn),. (mXr) соответственно.

Система (1.67) называется управляемой, если для любых моментов времени to и ti {ti>to) и любых заданных состояний Хо = Хо(/о) и Xi = x{fi) существует управляющая функция u(Ov 40

определенная на конечном интервале времени [to, U] и переводящая систему из начального состояния хо в конечное xi.

Приведем теорему, доказанную Калманом [94], которая дает удобный критерий управляемости для линейных стационарных систем.

Теорема. Система (1.67) будет управляемой тогда и только тогда, когда матрица управляемости

[В, АВ, АВ, А»->В] (1.68)

размера (пХпг) имеет ранг, равный п, т. е.

гапк[В, АВ, АВ, А»-1В]=л. (1.69)

Так как управляемость системы (1.67) определяется структурой двух матриц А и В, то говорит, что пара (А, В) является управляемой, если выполняется условие (1.69), или неуправляемой, если это условие не выполняется.

Система (1.67) называется наблюдаемой, если каждое состояние хо в любой момент времени to можно однозначно определить по результатам измерения у(/) и и(/) на конечном интервале времени [to, ti], t\>to.

Теорема. Система (1.67) будет наблюдаемой тогда и только тогда, когда матрица наблюдаемости

[С\ АС\ (А)2С..... (А)"->С] (1.70)

размера (пХпт) имеет ранг, равный п, т. е.

гапк[С\ АС (А)2С..., (At)"-iC] =л. (1.71)

Наблюдаемость системы (1.67) определяется структурой матриц А и С, поэтому говорят, что пара (А, С) является наблюдаемой, если выполняется условие (1.71).

Свойства управляемости и наблюдаемости систем необходимо рассматривать совместно для того, чтобы задача об управлении была корректно поставлена и принципиально разрешима. Управляемость и наблюдаемость находятся друг с другом в некоторой замечательной взаимосвязи. Впервые эта взаимосвязь была установлена Калманом и сфорК1улирована им как принцип двойственности.

Рассмотрим две. системы, одна из которых описывается уравнениями (1.67), а другая - уравнениями

(0=A1(0+Cu(0; r,(0 = B(0+Du(/), (1.72)

где %{t), u(t), r\(t) -векторы размерности п, т и г. Такие системы называют двойственными или сопряженными друг другу.

Установлено, что система (1.67) будет управляемой в том и только в том случае, если двойственная с ней система (1.72) будет наблюдаемой, т. е. тогда и только тогда, когда rank [В, АВ, АВ, А"-В]=л. Система (1.67) будет наблюдаемой, если и только если двойственная с ней система (1.72) будет управляемой, т. е. тогда и только тогда, когда rank [С, АС, (А), ... ..., (А)"-С] =л.