алгебраическими уравнениями - алгебраические блоки. Линейный стационарный динамический блок описывается уравнениями вида (1.27). Алгебраический блок описывается уравнением, связывающим выходную и входные переменные в один и тот же момент времени:

y=f(uu uu). (1.29)

Объединяя уравнения вида (1.27) и (1.29) всех блоков структурной схемы и учитывая, что каждый из входных сигналов блока является выходным другого блока либо внешним воздействием, получаем систему уравнений структурной схемы в виде:

x=F,(x. U. у), (1.30)

Р2(Х, U, у)=0. (1.31)

Здесь у - вектор выходных сигналов блоков; х - вектор переменных состояния всех динамических блоков; и - вектор внешних воздействий.

Для приведения уравнений к нормальной форме Коши необходимо из (1.31) получить выражение для вектора у через х, и, а затем, подставив это выражение в (1.30), получить выражение для X. Если не удается получить аналитические выражения для уравнений в форме Коши, то можно воспользоваться численной процедурой, согласно которой система алгебраических уравнений (1.31) решается относительно у при заданных х, и, а затем полученное значение у подставляется в (1.30).

Процедура приведения уравнений к нормальной форме упрощается и не требует решения алгебраических уравнений при некоторых предположениях:

1. Все динамические блоки описываются правильными передаточными функциями. Как правило, это выполняется, поскольку никакая физическая система не может реализовать идеальное дифференцирование входного сигнала. Если все же структурная схема содержит блок с передаточной функцией, порядок числителя которой превышает порядок знаменателя, то от него можно избавиться путем структурных преобразований либо замены блока идеального дифференцирования реальным р1{1+хр) с малой постоянной времени т.

2. Структурная схема не содержит алгебраических контуров. Алгебраическим будем называть контур, не содержащий ни одного блока, описываемого строго правильной передаточной функцией. Это предположение также выполняется для широкого класса систем автоматического управления.

Алгоритм приведения уравнений к нормальной форме заключается в расположении алгебраических уравнений для выходных сигналов блоков в определенном порядке. Упорядочим список всех блоков структурной схемы. В начало списка включим динамические блоки, описываемые строго правильной передаточной функцией. Далее будем последовательно включать те блоки, входными сигналами которых являются выходные уже упорядоченных

блоков и внешние воздействия. При выполнении указанных выше предположений так будут упорядочены все блоки структурной схемы.

Алгебраические уравнения для выходных сигналов блоков, записанные в определенном нами порядке: f/i=fi(x, и), г/2=/2(х, и; yi).

Ут = !т{х, и; Уи Ут-l)

Прямой подстановкой эти уравнения преобразуются к виду

f/i=9i(x, и), /=1..... т. (1.32)

Дифференциальные уравнения динамического блока, имеющего входной сигнал yf.

Xi= -aoXn + boyj,

Х2 -Xj

-alXn+biyj,

Xn = Xn-i - an-iXn+bniyj. (1.33)

Подставляя в уравнения (1.33) каждого динамического блока вместо У] соответствующее выражение (1.32), получаем систему уравнений в нормальной форме Коши, описывающую данную структурную схему.

При расчете на ЭВМ нет необходимости получать аналитические выражения для уравнений в нормальной форме. Достаточно определить такой порядок расчета блоков, при котором по заданным векторам х, и можно найти векторы х, у.

Пример. Сформируем уравнения состояния по структурной схеме на рис. 1.1 (выходные сигналы блоков пронумерованы здесь в порядке их расчета)

yi = Xi, У2=Х2, Уъ=ку1, у = и-уз-у2, У1,=!{Уа),

xi=-axi+bys, X2 = yt

Эти уравнения позволяют по заданному входному воздействию и я заданным переменным состояния Хи х найти выходные сигналы блоков у\,..., уъ и производные переменных состояния ii, хг-

р+а.

Рис. 1.1

Изложенная здесь алгоритмическая процедура приведения уравнений к нормальной форме путем упорядочения блоков обычно называется процедурой сортировки блоков [33] и применяется при моделяровавии процессов по структурной схеме с использованием явных методов интегрирования.

1.4. РАСЧЕТ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ПО УРАВНЕНИЯМ СОСТОЯНИЯ

Пусть автоматическая система описывается уравнениями

х = Ах-ЬВи; y = Cx+du, (1.34)

где \= {xi... Хп) - вектор переменных состояния; и= {ui... щ) - вектор входных переменных; у= (f/i... i/m) - вектор выходных переменных. Для вход-выходного соотношения y = w(p)u, где матрица передаточных функций определяется выражением w(jO) = = c(jOl-a)-b-t-d. Элементы Wij{p) передаточной матрицы представляют собой передаточные функции от /-го входа к t-му выходу.

Алгоритмы расчета передаточных функций тесно связаны с методами определения характеристического полинома матрицы. Алгоритмы, основанные на методах Леверье - Фаддеева [28, 66] и Данилевского [76, 100], неудовлетворительны с точки зрения точности и численной устойчивости. Так, при использовании метода Леверье- Фаддеева накопление вычислительных ошибок приводит к качественно неверным результатам уже при л = 5. Предложенный здесь алгоритм основан на приведении матрицы к верхней форме Хессенберга с помощью устойчивых элементарных преобразований [80] и является численно устойчивым.

Покажем, как можнф найти передаточные функции системы, имеющей несколько входов и один выход. Если система имеет несколько выходов, необходимо повторить расчет несколько раз, для каждого выхода. Представим коэффициенты системы (1.34), имеющей один выход, в виде матрицы

4l . . . Й1, п+1

Расчет передаточных функций такой системы будем производить в два этапа.

Этап 1. Выполнить преобразования матриц коэффициентов

a,+, = qiaiqr; Вш = огвг; ci+, = c,qr; 0 = 0. (1.35)

не изменяющие вход-выходных соотношений. В качестве матриц преобразований используем элементарные матрицы вида