с ПР-ИМЕГ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ П0Д1ТР0ГРАММЫ .JACOBI С

EXTERNAL FUM

MrENSION Х( 10) ,Y( 1») ,А(10«) д1х<10> ,riXMIN(10> ,DXrtAX( 10) DATA N/З/, К/3/, Х/0.8,2.,1.5/, СТ-5/.в1/, ПХ/.&г,.02,.©2 ,tiXmN/0.0«l,0.0ei,0.0ei/,DXrtAX/0.1,0.1,0.1/ CALL JACOBI (X,Y,N,M,FUN,EJS,DX,DXMIN,DXrtAX, А) CALL ajr(Y,A,N,M)

ENIi

С nOfinFOT-AiWi ВкПЗОДА РЕЗУЛЬТАТОВ С

SUBROUTI*: OUT(Y,A,N,M>

DIMEMSION Y(M),A(M,N)

F-RINT 10

Ю 5 1-1,И 5 FftlNT 15,Y(I),(A(I,J),>1,N) 10 Fa6MAT(/10X,Y,30X,A) 15 F0RMAT(E15.4,2X,8E13.4)

RETURN

ENIi

С П0ДПРОГТ(#»1А ВиЧИСЛЕНИЯ БЕКТОР-НОЙ ФУНКЦИИ С

SUBftOUTIfC FUN(X,Y)

DIEЫSION X(1),Y(1)

Y(1)=3.»AL0G(X(1>)-X(2)»»2+X(3)

Y(2)=2.*X(1)**2-X(1)»X(2)»»2+X(3)»C0S(X(1))

Y(3>=X(2>»SIN(X(1)>+X(3>

RETURN

ENli

С nouHPOTPlWiA JACOBI С

SUBROUTINE JACOBI (X,Y,N,rt, FUN,EFS,DX,DXrtIN,riXf¥iX, A) DIMENSION X(N) ,Y(rt) ,A(rt,N) ,DX(N) ,DXrtIN(N) ,DX(1AX(N), ,XIi(20),Yl(20),Y2(20) С Xn - FAE0Ч*1 W«XИB ДЛИНОЙ HE fEfCE N С YI, Y2 - РАБОЧИЕ W«XИBtl ДЛИНОЙ HE МЕНЕЕ М CALL FUN(X,Y) Ю 25 1=1,N D=DX(I) NUH=0 5 М№И*1Ж-1 DO 10 >1,N 10 XO(J)=X(J> XD(I)=X(I)-D CALL ГШ(ХВ,У1)

xna>=x(i)+D

CALL FUN(XD,Y2) EP=«.

Ю 15 >1,M

AJI=(Y2(J)-Y1(J))/(2.»D) E=((Y2(J>-YJ))-(Y(J>-Y1(J)>>/(2.»D) IF(NUM.GT.l) E=AJI-A(J,I) E=ABS(E)/(ABS(AJI>+1.E-10) IF(E.CT.EF> EF-=E 15 A(J,I)=A,JI

IF(EF.LE.4.»EFS.0R.D.LE.DXMIN(I)) 00 TO 2»

D=AHAX1(0.5»D,DXMIN(I))

GO TO 5

2» IF(EP.LT.EFS/4.> &=A«IN1 (2.»D,IiXtV4X( 1П 25 IIX(I)=D

RETURN

Здесь рт= {pip2.-Pn);

О 1 О О о 1

-•gn-lJ

(1.9)

в раскрытой форме уравнения (1.8) записывают в виде

Zn = -goZi-giZ2- .--gn-lZn + U,

Z = piZi + p2Z2+ ... +PnZn. (1.10)

Входящие в (1.10) коэффициенты go, gn~i и pu pn определяют в результате преобразования исходных уравнений (1.7) к канонической форме (1.8). Координаты состояния 2i, 22, Zn преобразованной системы (1.8) таковы, что Zj = Zj+i (/ = 1, 2, п-1). Поэтому уравнения (1.10) называют каноническими уравнениями в фазовых координатах.

Алгоритм преобразования уравнений одномерной системы к канонической форме в фазовых координатах

Рассмотрим задачу преобразования уравнений (1.7) к канонической форме (1.8). Она решается с помощью следующей процедуры [43]. Заменим переменные

x(0 = Kz(0, (1.11)

где (яХ«)-матрица

(1.12)

(1.13)

- матрица управляемости размера («Х«), а gi,... , gn - коэффициенты характеристического уравнения

det[pl-A]=«P"-fefn-iP"-+ ... +gip + go = 0, gn=i,

которые могут быть найдены в результате расчета матрицы Фро-бениуса

Ф = SAS =

(1.14)

Исходные уравнения (1.7) в результате замены переменных в (1.11) приводятся к канонической форме (1.8), где

0 = К-АК = Ф-; p- = q-K. (1.15)

Таким образом, алгоритм преобразования исходных уравнений (1.7) к канонической форме в фазовых координатах (1.8) включает следующие операции:

1. Вычисление матрицы управляемости S согласно (1.13).

2. Вычисление матрицы Фробениуса Ф по формуле (1.14), транспонирование Ф дает 0=Ф.

3. Вычисление матрицы К линейного преобразования переменных (1.11) по формуле (1.12).

4. Вычисление вектора р, определяющего выходную переменную z{t) по вектору состояния z(f), по формуле (1.15).

КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МНОГОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ Для многомерной системы

x = Ax+Bu, у = Сх, (1.16)

где х= (xi ...x„)f; и= (щ ... щ); у= (i... г/т) переход к любой из канонических форм осуществляется путем неособого линейного преобразования переменных состояния x* = Qx. В результате исходные уравнения принимают вид

x* = A*x* + B*u, у=С*х*,

A* = QAQ-i, B* = QB, C* = CQ-i. (1.17)

Преобразование (1.17) не изменяет вход-выходные соотношения и основные свойства системы - управляемость, наблюдаемость. Существует множество эквивалентных представлений системы (1.16), связанных между собой преобразованием (1.17). Однако наибольший интерес представляют канонические формы, при которых структура матриц А*, В*, С* наиболее простая.

При приведении уравнений к канонической форме простую структуру принимают две из трех матриц: А, В (управляемые формы) либо А, С (наблюдаемые). Управляемые канонические формы используются для синтеза регулятора, а наблюдаемые - для синтеза наблюдателя.

Наиболее широкое применение получили первая и вторая канонические формы Люенбергера [59, 95]. Вторая форма Люен-бергера более удобна, однако алгоритм ее получения более сложен. Здесь будут приведены алгоритмы получения первой наблюдаемой формы Люенбергера (разновидность Бьюси) и второй формы Люенбергера на основе первой формы.

Этими же алгоритмами можно воспользоваться для получения управляемых канонических форм, перейдя к дуальной систе-